方程式 $(x+2)|x-1| = k$ の実数解の個数が3個であるとき、定数 $k$ の値の範囲を求め、また実数解の個数が1個であるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $(x+2)|x-1| = k$ の実数解の個数が3個であるとき、定数 $k$ の値の範囲を求め、また実数解の個数が1個であるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = (x+2)|x-1|$ のグラフを描きます。絶対値記号があるので、$x < 1$ と $x \ge 1$ で場合分けします。

(i) $x < 1$ のとき、 $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ なので、

$y = (x+2)(1-x) = -x^2 -x + 2 = -(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

これは上に凸の放物線で、軸は $x = -\frac{1}{2}$、頂点は $(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ です。$x < 1$ の範囲で考えます。

$x = 1$ のとき $y = (1+2)|1-1| = 0$ なので、$x=1$ は含まれません。

$x = -2$ のとき $y=0$

(ii) $x \ge 1$ のとき、 $|x-1| = x-1$ なので、

$y = (x+2)(x-1) = x^2 + x - 2 = (x+\frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

これは下に凸の放物線で、軸は $x = -\frac{1}{2}$、頂点は $(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$ ですが、$x \ge 1$ の範囲で考えます。

$x=1$ のとき $y = (1+2)|1-1| = 0$

$x=-2$ のとき $y=0$

グラフを描くと、$k$ の値によって実数解の個数が変化することが分かります。

実数解の個数が3個となるのは、$0 < k < \frac{9}{4}$ のときです。

実数解の個数が1個となるのは、$k < -2$ のときです。

3. 最終的な答え

実数解の個数が3個であるとき、定数 $k$ の値の範囲は $\boxed{0 < k < \frac{9}{4}}$ （イ）です。

実数解の個数が1個であるとき、定数 $k$ の値の範囲は $\boxed{k < -2}$ （エ）です。

したがって、4はイ、5はエです。