与えられた9個の複素数の式をそれぞれ計算する問題です。これらの式には、共役複素数、絶対値、分数の計算が含まれます。

1. 問題の内容

与えられた9個の複素数の式をそれぞれ計算する問題です。これらの式には、共役複素数、絶対値、分数の計算が含まれます。

2. 解き方の手順

各問題について、以下のように解きます。

(1) $\overline{6+5i}$

共役複素数は、虚部の符号を変えることで求められます。

(2) $\overline{1-4i}$

同様に、共役複素数を求めます。

(3) $\overline{-8i}$

同様に、共役複素数を求めます。

(4) $\frac{1}{2}\{(2+3i) + \overline{(2+3i)}\}$

まず、共役複素数$\overline{(2+3i)}$ を求め、それを元の式に代入して計算します。

$\overline{(2+3i)} = 2-3i$

$\frac{1}{2}\{(2+3i) + (2-3i)\} = \frac{1}{2}\{4\} = 2$

(5) $\frac{1}{2i}\{(5+6i) - \overline{(5+6i)}\}$

まず、共役複素数$\overline{(5+6i)}$ を求め、それを元の式に代入して計算します。

$\overline{(5+6i)} = 5-6i$

$\frac{1}{2i}\{(5+6i) - (5-6i)\} = \frac{1}{2i}\{12i\} = 6$

(6) $(3+4i)\overline{(3+4i)}$

まず、共役複素数$\overline{(3+4i)}$ を求め、それを元の式に代入して計算します。

$\overline{(3+4i)} = 3-4i$

$(3+4i)(3-4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25$

(7) $\overline{(\frac{1}{1-i})} - \frac{1}{1+i}$

まず、$\frac{1}{1-i}$ を計算し、その共役複素数を求めます。次に、$\frac{1}{1+i}$ を計算し、最終的な答えを求めます。

$\frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1 - i^2} = \frac{1+i}{1 - (-1)} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

$\overline{(\frac{1}{1-i})} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

$\frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1 - i^2} = \frac{1-i}{1 - (-1)} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

$\overline{(\frac{1}{1-i})} - \frac{1}{1+i} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i) = 0$

(8) $\frac{|2+5i|^2}{2+5i}$

$|2+5i|^2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$

$\frac{|2+5i|^2}{2+5i} = \frac{29}{2+5i} = \frac{29(2-5i)}{(2+5i)(2-5i)} = \frac{29(2-5i)}{4+25} = \frac{29(2-5i)}{29} = 2-5i$

(9) $\frac{1}{1+2i} + \frac{1}{\overline{1+2i}}$

まず、共役複素数$\overline{1+2i}$ を求め、それぞれの分数を計算します。

$\overline{1+2i} = 1-2i$

$\frac{1}{1+2i} = \frac{1-2i}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1-2i}{1+4} = \frac{1-2i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$

$\frac{1}{1-2i} = \frac{1+2i}{(1-2i)(1+2i)} = \frac{1+2i}{1+4} = \frac{1+2i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5}i$

$\frac{1}{1+2i} + \frac{1}{\overline{1+2i}} = (\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i) + (\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i) = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $6-5i$

(2) $1+4i$

(3) $8i$

(4) $2$

(5) $6$

(6) $25$

(7) $0$

(8) $2-5i$

(9) $\frac{2}{5}$