行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & -5 & 2 & -3 \\ -3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ のランクを求める問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & -5 & 2 & -3 \\ -3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ のランクを求める問題です。

2. 解き方の手順

行列のランクは、行基本変形（掃き出し法）によって階段行列に変形し、0でない行の数として求めることができます。

まず、与えられた行列$A$を以下に示します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & -5 & 2 & -3 \\ -3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

1行目を基準に、2行目から1行目の2倍を引きます（$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$）。

また、4行目に1行目の3倍を加えます ($R_4 \rightarrow R_4 + 3R_1$)。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & -8 & 8 \\ 0 & -5 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & 6 & -5 \end{bmatrix}$

2行目を3で割ります（$R_2 \rightarrow \frac{1}{3} R_2$）。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & -5 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & 6 & -5 \end{bmatrix}$

2行目を基準に、3行目に2行目の5倍を加えます ($R_3 \rightarrow R_3 + 5R_2$)。

また、4行目に2行目の2倍を加えます ($R_4 \rightarrow R_4 + 2R_2$)。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{34}{3} & \frac{31}{3} \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

3行目を$-\frac{3}{34}$倍します（$R_3 \rightarrow -\frac{3}{34} R_3$）。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{31}{34} \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

4行目から3行目の$\frac{2}{3}$倍を引きます ($R_4 \rightarrow R_4 - \frac{2}{3}R_3$)。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{31}{34} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{32}{51} \end{bmatrix}$

4行目を$\frac{51}{32}$倍します（$R_4 \rightarrow \frac{51}{32} R_4$）。

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{3} & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{31}{34} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

この階段行列には、0でない行が4行あります。したがって、行列Aのランクは4です。

3. 最終的な答え

rank A = 4