3次方程式 $x^3 - 3x^2 + x - 4 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $\alpha + \beta + \gamma$ (2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$ (3) $\alpha\beta\gamma$ (4) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ (5) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 + x - 4 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $\alpha + \beta + \gamma$

(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$

(3) $\alpha\beta\gamma$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$

(5) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$

2. 解き方の手順

3次方程式の解と係数の関係より、以下の関係が成り立つ。

$x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha, \beta, \gamma$ のとき、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$

$\alpha\beta\gamma = -c$

与えられた方程式 $x^3 - 3x^2 + x - 4 = 0$ より、

(1) $\alpha + \beta + \gamma = -(-3) = 3$

(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 1$

(3) $\alpha\beta\gamma = -(-4) = 4$

(4) $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$ より

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 3^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$

(5) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) = (1 - \alpha - \beta + \alpha\beta)(1-\gamma) = 1 - \alpha - \beta - \gamma + \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha - \alpha\beta\gamma$

$= 1 - (\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - \alpha\beta\gamma = 1 - 3 + 1 - 4 = -5$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta + \gamma = 3$

(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 1$

(3) $\alpha\beta\gamma = 4$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 7$

(5) $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) = -5$