ある調査で、日本人男性の体重の平均は61.8kg、標準偏差は88kgであることがわかっています。このとき、1600人の日本人男性を無作為抽出したとき、以下の2つの問題を解きます。 (1) 抽出した1600人の体重の平均の期待値と標準偏差を求めます。 (2) 抽出した1600人の標本平均をXとおくとき、Xが64以上の値を取る確率を求めます。

1. 問題の内容

ある調査で、日本人男性の体重の平均は61.8kg、標準偏差は88kgであることがわかっています。このとき、1600人の日本人男性を無作為抽出したとき、以下の2つの問題を解きます。

(1) 抽出した1600人の体重の平均の期待値と標準偏差を求めます。

(2) 抽出した1600人の標本平均をXとおくとき、Xが64以上の値を取る確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 抽出した1600人の体重の平均の期待値と標準偏差を求めます。

母集団の平均を $\mu$、標準偏差を $\sigma$、標本サイズを $n$ とすると、標本平均 $\bar{X}$ の期待値 $E(\bar{X})$ と標準偏差 $SD(\bar{X})$ は以下のようになります。

$E(\bar{X}) = \mu$

$SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

この問題では、$\mu = 61.8$ kg、$\sigma = 88$ kg、$n = 1600$ です。

したがって、

$E(\bar{X}) = 61.8$

$SD(\bar{X}) = \frac{88}{\sqrt{1600}} = \frac{88}{40} = 2.2$

(2) 抽出した1600人の標本平均をXとおくとき、Xが64以上の値を取る確率を求めます。

標本平均 $X$ は近似的に正規分布に従うので、$X \sim N(61.8, 2.2^2)$ となります。

$Z = \frac{X - \mu}{SD(\bar{X})} = \frac{X - 61.8}{2.2}$ とおくと、$Z$ は標準正規分布に従います。

$P(X \geq 64) = P(\frac{X - 61.8}{2.2} \geq \frac{64 - 61.8}{2.2}) = P(Z \geq \frac{2.2}{2.2}) = P(Z \geq 1)$

標準正規分布表から、$P(Z \geq 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$

3. 最終的な答え

(1) 期待値：61.8 kg、標準偏差：2.2 kg

(2) 確率：0.1587