問題は、円とその接線に関する角度を求める問題です。 (1)では、円Oにおいて、ATは円Oの接線であり、$\angle$TAB = $68^\circ$ であるとき、$x, y$ の値を求めます。 (2)では、円Oにおいて、ATは円Oの接線であり、$\angle$ABO = $30^\circ$ であるとき、$z$ の値を求めます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

問題は、円とその接線に関する角度を求める問題です。

(1)では、円Oにおいて、ATは円Oの接線であり、$\angle$TAB = $68^\circ$ であるとき、$x, y$ の値を求めます。

(2)では、円Oにおいて、ATは円Oの接線であり、$\angle$ABO = $30^\circ$ であるとき、$z$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* ATは円Oの接線なので、$\angle$OAT = $90^\circ$です。したがって、$\angle$OAB = $\angle$OAT - $\angle$BAT = $90^\circ$ - $68^\circ$ = $22^\circ$です。

* 三角形OABはOA = OBの二等辺三角形なので、$\angle$OBA = $\angle$OAB = $22^\circ$です。

* $x$は$\angle$AOBなので、$\angle$AOB = $180^\circ$ - $\angle$OAB - $\angle$OBA = $180^\circ$ - $22^\circ$ - $22^\circ$ = $136^\circ$です。

よって、$x = 136^\circ$です。

* $y$は$\angle$ATBです。$\angle$ATBは$\angle$TABの円周角なので、$\angle$ATB = $\frac{1}{2} \angle$AOB = $\frac{1}{2} \cdot 136^\circ$ = $68^\circ$です。

円周角の定理より、$y = 68^\circ$は誤りで、$y$は$\angle$ACBです。

$\angle$AOBは中心角、$\angle$ACBは円周角の関係にあり、$\angle$AOB = $136^\circ$なので、$\angle$ACB = $y = \frac{1}{2} \angle$AOB = $\frac{1}{2} \times 136^\circ = 68^\circ$です。

(2)

* ATは円Oの接線なので、$\angle$OBA = $30^\circ$より、$\angle$OAT = $90^\circ$です。

* また、三角形OABはOA = OBの二等辺三角形なので、$\angle$OAB = $\angle$OBA = $30^\circ$です。

* $\angle$AOB = $180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$です。

* $\angle$ASB = z とおくと、円周角の定理より、中心角$\angle$AOB = $120^\circ$なので、

$2z = 120^\circ$

しかし$\angle$ACBは$\angle$ASBの外角なので、

$\angle$ASB = $\angle$BAT

$\angle$BAT = $z$

また接弦定理より

$z = \angle ACB = 30^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $x = 136^\circ$

$y = 68^\circ$

(2) $z = 30^\circ$