円の中に交わる2本の弦ABとCDがあり、交点をPとする。AB = 12, PC = 5, PD = 4のとき、PAとPBの長さを求める問題。

1. 問題の内容

円の中に交わる2本の弦ABとCDがあり、交点をPとする。AB = 12, PC = 5, PD = 4のとき、PAとPBの長さを求める問題。

2. 解き方の手順

円の内部で2本の弦が交わるとき、交点から弦の両端までの線分の長さの積は等しいという性質を利用する。つまり、

$PA \times PB = PC \times PD$

ここで、$AB = PA + PB = 12$なので、$PB = 12 - PA$となる。

これを上記の式に代入すると、

$PA \times (12 - PA) = 5 \times 4$

$12PA - PA^2 = 20$

$PA^2 - 12PA + 20 = 0$

この2次方程式を解く。因数分解すると、

$(PA - 2)(PA - 10) = 0$

よって、$PA = 2$ または $PA = 10$

$PA = 2$のとき、$PB = 12 - 2 = 10$

$PA = 10$のとき、$PB = 12 - 10 = 2$

通常、図から判断すると、PAの方が短いので、$PA = 2$、$PB = 10$と考える。

3. 最終的な答え

PA = 2

PB = 10