次の不等式を解く問題です。 $|x - 2| + |2x + 1| \le 6$

1. 問題の内容

次の不等式を解く問題です。

$|x - 2| + |2x + 1| \le 6$

2. 解き方の手順

絶対値記号を含む不等式を解くためには、絶対値の中身の符号によって場合分けを行います。

場合 1: $x < -\frac{1}{2}$ のとき

$x - 2 < 0$ かつ $2x + 1 < 0$ なので、

$-(x - 2) - (2x + 1) \le 6$

$-x + 2 - 2x - 1 \le 6$

$-3x + 1 \le 6$

$-3x \le 5$

$3x \ge -5$

$x \ge -\frac{5}{3}$

この場合、$-\frac{5}{3} \le x < -\frac{1}{2}$

場合 2: $-\frac{1}{2} \le x < 2$ のとき

$x - 2 < 0$ かつ $2x + 1 \ge 0$ なので、

$-(x - 2) + (2x + 1) \le 6$

$-x + 2 + 2x + 1 \le 6$

$x + 3 \le 6$

$x \le 3$

この場合、$-\frac{1}{2} \le x < 2$

場合 3: $x \ge 2$ のとき

$x - 2 \ge 0$ かつ $2x + 1 > 0$ なので、

$(x - 2) + (2x + 1) \le 6$

$x - 2 + 2x + 1 \le 6$

$3x - 1 \le 6$

$3x \le 7$

$x \le \frac{7}{3}$

この場合、$2 \le x \le \frac{7}{3}$

最後に、これらの場合をすべて合わせます。

$-\frac{5}{3} \le x < -\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2} \le x < 2$, $2 \le x \le \frac{7}{3}$

したがって、 $-\frac{5}{3} \le x \le \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{5}{3} \le x \le \frac{7}{3}$