(1) 第5項が10で、初項から第5項までの和が100である等差数列の初項と公差を求めます。 (2) 等比数列 $18, -6\sqrt{3}, 6, \dots$ の第6項と、初項から第15項までの奇数番目の項の和を求めます。

1. 問題の内容

(1) 第5項が10で、初項から第5項までの和が100である等差数列の初項と公差を求めます。

(2) 等比数列 $18, -6\sqrt{3}, 6, \dots$ の第6項と、初項から第15項までの奇数番目の項の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

初項を $a$、公差を $d$ とすると、第5項は $a + 4d = 10$ です。

初項から第5項までの和は $S_5 = \frac{5}{2}(2a + 4d) = 100$ です。

この式を整理すると、$5(a + 2d) = 100$ より $a + 2d = 20$ となります。

連立方程式

$a + 4d = 10$

$a + 2d = 20$

を解きます。上の式から下の式を引くと、$2d = -10$ より $d = -5$ です。

$a + 2(-5) = 20$ より $a = 30$ です。

(2)

等比数列 $18, -6\sqrt{3}, 6, \dots$ の公比 $r$ は、$r = \frac{-6\sqrt{3}}{18} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

第6項は $ar^5 = 18 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^5 = 18 \cdot \frac{-9\sqrt{3}}{243} = 18 \cdot \frac{-\sqrt{3}}{27} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$ です。

初項から第15項までの奇数番目の項の和は、初項から第8項までの等比数列の和です。

奇数番目の項は、$18, 6, 2\sqrt{3}, ...$となり、これは公比が$\frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$の等比数列です。

奇数番目の項だけを取り出すと、初項が18、公比が $r^2 = \frac{1}{3}$ の等比数列になります。第15項までの奇数番目の項の数は8個なので、求める和は

$S = \frac{18(1 - (\frac{1}{3})^8)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18(1 - \frac{1}{6561})}{\frac{2}{3}} = 27(1 - \frac{1}{6561}) = 27 - \frac{27}{6561} = 27 - \frac{1}{243} = \frac{27 \times 243 - 1}{243} = \frac{6561 - 1}{243} = \frac{6560}{243}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 初項は 30, 公差は -5 です。

(2) 第6項は $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$ であり、初項から第15項までの奇数番目の項の和は $\frac{6560}{243}$ です。