与えられた多項式の積を展開したとき、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) $(3x^2 - 2x - 1)(5x + 4)$ の展開における $x^2$ の係数 (2) $(2x^2 + 3xy - 4y^2)(3x^2 - 2xy + 5y^2)$ の展開における $x^2y^2$ の係数 (3) $(x + 3y - z)(2x + 5y + 3z)(3x - 4y - 2z)$ の展開における $xyz$ の係数

1. 問題の内容

与えられた多項式の積を展開したとき、指定された項の係数を求める問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) $(3x^2 - 2x - 1)(5x + 4)$ の展開における $x^2$ の係数

(2) $(2x^2 + 3xy - 4y^2)(3x^2 - 2xy + 5y^2)$ の展開における $x^2y^2$ の係数

(3) $(x + 3y - z)(2x + 5y + 3z)(3x - 4y - 2z)$ の展開における $xyz$ の係数

2. 解き方の手順

(1) $(3x^2 - 2x - 1)(5x + 4)$

$x^2$ の項は、 $3x^2 \times 4$ と $-2x \times 5x$ から現れます。

係数は、 $3 \times 4 + (-2) \times 5 = 12 - 10 = 2$

(2) $(2x^2 + 3xy - 4y^2)(3x^2 - 2xy + 5y^2)$

$x^2y^2$ の項は、

$2x^2 \times 5y^2$, $3xy \times (-2xy)$, $-4y^2 \times 3x^2$ から現れます。

係数は、 $2 \times 5 + 3 \times (-2) + (-4) \times 3 = 10 - 6 - 12 = -8$

(3) $(x + 3y - z)(2x + 5y + 3z)(3x - 4y - 2z)$

$xyz$ の項は、

$x \times 5y \times (-2z)$, $x \times 3z \times (-4y)$,

$3y \times 2x \times (-2z)$, $3y \times 3z \times 3x$,

$-z \times 2x \times (-4y)$, $-z \times 5y \times 3x$ から現れます。

係数は、

$1 \times 5 \times (-2) + 1 \times 3 \times (-4) + 3 \times 2 \times (-2) + 3 \times 3 \times 3 + (-1) \times 2 \times (-4) + (-1) \times 5 \times 3$

$= -10 - 12 - 12 + 27 + 8 - 15 = -14$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) -8

(3) -14