点A(4, 3), B(4, -4)と直線 $l: y = 3x$ が与えられている。原点Oを通り直線lに平行な直線をmとする。 (1) △OABの面積を求める。 (2) 直線mの式を求める。 (3) 直線m上にy座標が負である点Cを、△OABと△OACの面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求める。

1. 問題の内容

点A(4, 3), B(4, -4)と直線 $l: y = 3x$ が与えられている。原点Oを通り直線lに平行な直線をmとする。

(1) △OABの面積を求める。

(2) 直線mの式を求める。

(3) 直線m上にy座標が負である点Cを、△OABと△OACの面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) △OABの面積を求める。

点A, Bのx座標は4なので、ABはy軸に平行な線分である。

ABの長さは $3 - (-4) = 7$ となる。

OからABまでの距離は、A, Bのx座標である4に等しい。

したがって、△OABの面積は、

$\frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$

(2) 直線mの式を求める。

直線mは直線lに平行なので、傾きは同じ3である。

また、直線mは原点(0, 0)を通るので、切片は0である。

したがって、直線mの式は $y = 3x$ となる。

(3) 点Cの座標を求める。

点Cは直線m上にあるので、$y = 3x$を満たす。

点Cの座標を(x, y)とすると、$y = 3x$である。

△OABの面積と△OACの面積が等しいので、それぞれの底辺をOAとしたときの高さも等しくなる。

△OABの底辺をABとするときの高さは4である。

△OACの底辺をOCとするときの高さは、点Aから直線mまでの距離に等しい。

△OACの面積が△OABの面積と等しいとき、点Cから直線OAまでの距離は、点Bから直線OAまでの距離と等しい必要がある。

△OABと△OACの面積が等しくなるのは、ABの長さにx軸方向の長さをかけたものと、OCにx軸方向の長さをかけたものが等しいときである。

あるいは、点Cのy座標が負の値を持つことに注意して、点CからABまでの距離をhとすると、

$\frac{1}{2} \times OA \times h = \frac{1}{2} \times AB \times 4 = 14$

点Cは直線m上にあるので、C(x, 3x)と表せる。

△OAB = △OAC なので、ABの長さにOからのx座標をかけたものと、ACの長さにOからのx座標をかけたものが等しくなればよい。

$△OAB = 14$

$△OAC = \frac{1}{2} * OC * h$ (hはAから直線OCへの垂線の長さ)

△OABと△OACの面積が等しいので、点Cは点Bに関して原点Oの反対側にあると考えられる。

点Bは(4, -4)なので、点Cのy座標は負である。

$\frac{1}{2} \times AB \times 4 = 14$

△OACの面積も14なので、$\frac{1}{2} \times OA \times h = 14$

底辺をOAとしたときの高さが同じになるのは、Cのx座標が-4のときである。

このとき、$y = 3 \times (-4) = -12$なので、C(-4, -12)

3. 最終的な答え

(1) △OABの面積: 14

(2) 直線mの式: $y = 3x$

(3) 点Cの座標: (-4, -12)