1枚のコインを8回投げる。表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。このとき、点数の合計が0点である確率と、点数の合計が5点以上である確率を求める。

1. 問題の内容

1枚のコインを8回投げる。表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。このとき、点数の合計が0点である確率と、点数の合計が5点以上である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点数の合計が0点である確率

8回投げて合計が0点になるのは、表と裏がそれぞれ4回ずつ出る場合である。

8回中4回表が出る組み合わせの数は、二項係数で表され、$_8C_4$ である。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

すべての場合は $2^8 = 256$ 通りである。

したがって、合計が0点である確率は、

$\frac{70}{256} = \frac{35}{128}$

(2) 点数の合計が5点以上である確率

8回の試行で、点数の合計が5点以上となる場合を考える。

表が出た回数を $x$、裏が出た回数を $y$ とすると、$x + y = 8$ かつ $x - y \geq 5$。

この2つの式から、$2x \geq 13$、つまり、$x \geq 6.5$ である。よって、$x$ は7か8である。

$x=7$ のとき、$y=1$ であり、合計は $7 - 1 = 6$ 点である。

この場合の数は $_8C_7 = 8$ 通り。

$x=8$ のとき、$y=0$ であり、合計は $8 - 0 = 8$ 点である。

この場合の数は $_8C_8 = 1$ 通り。

したがって、合計が5点以上となる場合の数は $8 + 1 = 9$ 通り。

したがって、合計が5点以上である確率は、

$\frac{9}{256}$

3. 最終的な答え

点数の合計が0点である確率は $\frac{35}{128}$

点数の合計が5点以上である確率は $\frac{9}{256}$