箱から玉を取り出し、色を調べて元に戻す試行を $n$ 回行ったとき、比率の信頼区間が $[0.09, 0.11]$ である。 (1) 比率の点推定値 $\hat{p}$ を求める。 (2) 試行を $4n$ 回行ったときの比率の点推定値は $n$ 回のときと同じ $\hat{p}$ であるとき、$4n$ 回の試行の比率の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

箱から玉を取り出し、色を調べて元に戻す試行を $n$ 回行ったとき、比率の信頼区間が $[0.09, 0.11]$ である。

(1) 比率の点推定値 $\hat{p}$ を求める。

(2) 試行を $4n$ 回行ったときの比率の点推定値は $n$ 回のときと同じ $\hat{p}$ であるとき、$4n$ 回の試行の比率の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 信頼区間の中央値が点推定値 $\hat{p}$ になるので、$\hat{p}$ は信頼区間の上限と下限の平均値として計算できる。

$$$$

\hat{p} = \frac{0.09 + 0.11}{2}

$$$$

(2) 信頼区間の幅は、標本サイズの平方根に反比例する。

つまり、$n$ 回の試行から $4n$ 回の試行に増やすと、標本サイズが4倍になるので、信頼区間の幅は $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ になる。

$n$ 回の試行の信頼区間は $[0.09, 0.11]$ であり、その幅は $0.11 - 0.09 = 0.02$ である。

したがって、$4n$ 回の試行の信頼区間の幅は $\frac{0.02}{2} = 0.01$ となる。

点推定値 $\hat{p}$ は変わらないので、$4n$ 回の試行の信頼区間は

$$$$

[\hat{p} - \frac{0.01}{2}, \hat{p} + \frac{0.01}{2}]

$$$$

で与えられる。$\hat{p}$ の値を代入して計算する。

3. 最終的な答え

(1) $\hat{p} = \frac{0.09 + 0.11}{2} = \frac{0.20}{2} = 0.10$

(2) $4n$ 回の試行の信頼区間は、

$[0.10 - \frac{0.01}{2}, 0.10 + \frac{0.01}{2}] = [0.10 - 0.005, 0.10 + 0.005] = [0.095, 0.105]$

答え:

$\hat{p} = 0.10$

信頼区間: $[0.095, 0.105]$