AとBが試合を行い、先に2勝した方が優勝する。AがBに勝つ確率は $2/3$ である。引き分けはないとする。 (1) Aが優勝する確率を求める。 (2) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に2勝した方が優勝する。AがBに勝つ確率は $2/3$ である。引き分けはないとする。

(1) Aが優勝する確率を求める。

(2) Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) Aが優勝する場合を考える。

* 2連勝の場合：Aが1回目と2回目に勝つ。確率は $(2/3) \times (2/3) = 4/9$。

* 3試合目でAが優勝する場合：Aが1勝1敗の後、Aが勝つ。

1回目にAが勝ち2回目にBが勝つ場合：$(2/3) \times (1/3) \times (2/3) = 4/27$

1回目にBが勝ち2回目にAが勝つ場合：$(1/3) \times (2/3) \times (2/3) = 4/27$

よって確率は $4/27 + 4/27 = 8/27$。

したがって、Aが優勝する確率は $4/9 + 8/27 = 12/27 + 8/27 = 20/27$。

(2) Aが優勝したという条件の下で、2回目にBが勝つ確率を求める。

Aが優勝し、かつ2回目にBが勝つのは、Aが3試合目で勝つ場合に限られる。

この確率は $8/27$ である。

Aが優勝する確率は $20/27$ なので、求める条件付き確率は

$\frac{8/27}{20/27} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

Aが優勝する確率は $20/27$ である。

Aが優勝したという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率は $2/5$ である。