問題は、0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字を使って作れる整数について、以下の2つの問いに答えるものです。ただし、同じ数字は2度以上使えません。 (1) 6桁の整数は何個作れますか。 (2) 6桁の整数のうち、5の倍数は何個作れますか。

1. 問題の内容

問題は、0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字を使って作れる整数について、以下の2つの問いに答えるものです。ただし、同じ数字は2度以上使えません。

(1) 6桁の整数は何個作れますか。

(2) 6桁の整数のうち、5の倍数は何個作れますか。

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数について

6桁の整数を作る場合、先頭の桁は0以外の数字である必要があります。

* 先頭の桁に使える数字は1, 2, 3, 4, 5の5個です。

* 先頭の桁を決めた後、残りの5桁には残りの5個の数字を自由に並べることができます。その並べ方は $5!$ 通りです。

したがって、6桁の整数の個数は、$5 \times 5!$ で求められます。

(2) 6桁の整数で5の倍数について

6桁の整数が5の倍数であるためには、末尾の桁が0または5である必要があります。

* 末尾が0の場合：先頭の桁には1, 2, 3, 4, 5の5個の数字が使えます。残りの4桁には残りの4個の数字を自由に並べることができます。その並べ方は $4!$ 通りです。したがって、末尾が0である6桁の整数の個数は、$5 \times 4!$ です。

* 末尾が5の場合：先頭の桁には0以外の数字を使います。しかし、末尾が5なので、先頭に使える数字は1, 2, 3, 4の4個です。先頭の桁を決めた後、残りの4桁のうち、2桁目には0を加えて残った4個の数字から選ぶことができます。したがって、2桁目には4通り選ぶことができ、3桁目には3通り、4桁目には2通り、5桁目には1通りです。よって、末尾が5である6桁の整数の個数は、$4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 4 \times 4!$ です。

したがって、6桁の整数で5の倍数の個数は、$5 \times 4! + 4 \times 4!$ で求められます。

3. 最終的な答え

(1) 6桁の整数の個数:

$5 \times 5! = 5 \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 5 \times 120 = 600$

答え: 600個

(2) 6桁の整数で5の倍数の個数:

$5 \times 4! + 4 \times 4! = (5 + 4) \times 4! = 9 \times 4! = 9 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 9 \times 24 = 216$

答え: 216個