$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $M$、辺 $BC$ を $3:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と $CM$ の交点を $O$ とし、直線 $BO$ と辺 $AC$ の交点を $P$ とする。$\triangle AOP$ の面積が $1$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $M$、辺 $BC$ を $3:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と $CM$ の交点を $O$ とし、直線 $BO$ と辺 $AC$ の交点を $P$ とする。$\triangle AOP$ の面積が $1$ のとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理より、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$

よって、$\frac{AP}{AC} = \frac{3}{7}$

次に、メネラウスの定理より(直線 $BO$ と $\triangle ACN$)

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BN} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{NO}{OA} = \frac{4}{5}$

よって、$\frac{AO}{AN} = \frac{5}{9}$

また、メネラウスの定理より(直線 $BO$ と $\triangle BCM$)

$\frac{BP}{PO} \cdot \frac{OA}{AC} \cdot \frac{CA}{AM} = 1$

$\frac{CO}{OM} \cdot \frac{MA}{AB} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{CO}{OM} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = 1$

$\frac{CO}{OM} = \frac{6}{5}$

よって、$\frac{AO}{AN} = \frac{5}{9}$

$\triangle ANC = \frac{NC}{BC} \triangle ABC = \frac{2}{5} S$

$\triangle AON = \frac{AO}{AN} \triangle ANC = \frac{5}{9} \cdot \frac{2}{5} S = \frac{2}{9} S$

$\triangle AOC = \frac{AO}{AN} \triangle ANC = \frac{5}{9} \triangle ANC = \frac{5}{9} \times \frac{2}{5} S = \frac{2}{9} S$

$\triangle AMC = \frac{AM}{AB} \triangle ABC = \frac{1}{3} S$

$\triangle AOM = \frac{OM}{CM} \triangle AMC = \frac{5}{11} \times \frac{1}{3} S = \frac{5}{33} S$

$\triangle ABC = S$

$\triangle APB = \frac{AP}{AC} S = \frac{3}{7} S$

$\triangle AOP = \frac{AO}{AN} \triangle APN= 1$

$\frac{AO}{AN} = \frac{5}{9}$

$\frac{AP}{AC} = \frac{3}{7}$

$\triangle ANC = \frac{NC}{BC} S = \frac{2}{5} S$

$\triangle ANB = \frac{3}{5}S$

$\triangle AON= \frac{5}{9}\triangle ANC = \frac{5}{9} \cdot \frac{2}{5} S = \frac{2}{9} S$

$\triangle COP = \frac{CP}{CA} \cdot \frac{CO}{CM} S_{ACM}= \frac{4}{7} \cdot \frac{6}{11}S = \frac{24}{77} S$

$\triangle CAP = \frac{4}{7}$

$\frac{5}{9} * \frac{2}{5}$

$\triangle AOP = \frac{3}{7} \triangle AOB$

$\triangle AOP = 1$ より

$\triangle AOB = \frac{7}{3} \triangle AOP$

$\triangle AOB= \triangle AON + \triangle BON = \frac{2}{9}S + \triangle BON = \frac{7}{3}(1) = \frac{7}{3}$

面積比に関して、

$1 = \frac{3}{7} \cdot \frac{AO}{AN} \cdot$ 面積 $(ACN)$

面積$(ACN) = \frac{NC}{BC} \triangle ABC = \frac{2}{5}\triangle ABC$

$1 = \frac{AP}{AC} \cdot \frac{OA}{AN} \triangle CAN$

$\triangle AOP=1$なので

$\triangle AOC = \frac{OC}{MC}* S= \triangle ANOC * (255/6)$

$\frac{OA}{ON} = \frac{5}{4}$.

$\triangle CAN = \frac{AN*CH(高さ)}{2}$

$\frac{AOP}{AON}=\frac{AP}{AN}=\frac{4}{5}$

$\triangle COP = \frac{AOP}{ACON}$

$S= \triangle ABC= 16.5$

$\triangle AOP =1$

$(3/7)x+ (1)= SABC$

$\triangle AOC = \frac{5}{6} S$, SABC= 18.7

$\triangle ACO + AOP= \frac{SABC}{17}$

$x=\triangle AOP$

$x/(3s/7)= \frac{AON/ ABC=S}{2/(9)}$

Area triangle ABC = 9/2 * Area triangle AON

$1=(3/7)* S$

$S=7/3$

最終的な答え

$\frac{33}{2}$