右図の正三角形ABC（1辺の長さ8cm）において、Dは辺BCの中点、BE = 6cmとする。以下の長さを求める問題である。 (i) 線分AD (ii) 線分AE (iii) 点Bから線分AEへの垂線BH

1. 問題の内容

右図の正三角形ABC（1辺の長さ8cm）において、Dは辺BCの中点、BE = 6cmとする。以下の長さを求める問題である。

(i) 線分AD

(ii) 線分AE

(iii) 点Bから線分AEへの垂線BH

2. 解き方の手順

(i) 線分ADの長さ

ADは正三角形ABCの中線なので、点Dは辺BCの中点である。

したがって、BD = DC = BC/2 = 8/2 = 4 cm。

△ABDは直角三角形であり、三平方の定理より、

$AD^2 + BD^2 = AB^2$

$AD^2 + 4^2 = 8^2$

$AD^2 + 16 = 64$

$AD^2 = 48$

$AD = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$ cm

(ii) 線分AEの長さ

△ADEは直角三角形であり、三平方の定理より、

$AE^2 = AD^2 + DE^2$

ここで、DE = BE - BD = 6 - 4 = 2 cm

$AE^2 = (4\sqrt{3})^2 + 2^2$

$AE^2 = 48 + 4 = 52$

$AE = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$ cm

(iii) 線分BHの長さ

△ABEの面積を2通りの方法で考える。

1. 底辺AE、高さBHとすると、面積は $\frac{1}{2} \times AE \times BH = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} \times BH = \sqrt{13} BH$

2. 底辺BE、高さ（ABからBEに下ろした垂線）を考えると、

高さは$\frac{\sqrt{3}}{2} \times AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4\sqrt{3}$

面積は $\frac{1}{2} \times BE \times 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$

したがって、$\sqrt{13} BH = 12\sqrt{3}$

$BH = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{3} \times \sqrt{13}}{\sqrt{13} \times \sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{39}}{13}$ cm

3. 最終的な答え

(i) $AD = 4\sqrt{3}$ cm

(ii) $AE = 2\sqrt{13}$ cm

(iii) $BH = \frac{12\sqrt{39}}{13}$ cm