1つのサイコロを5回投げます。 (1) 3の倍数の目がちょうど2回出る確率を求めます。 (2) 6の約数の目がちょうど4回出る確率を求めます。 答えは選択肢のア～クの中から選びます。

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回投げます。

(1) 3の倍数の目がちょうど2回出る確率を求めます。

(2) 6の約数の目がちょうど4回出る確率を求めます。

答えは選択肢のア～クの中から選びます。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数の目がちょうど2回出る確率

* サイコロを1回振ったとき、3の倍数（3または6）が出る確率は、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。

* 3の倍数でない目が出る確率は、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$です。

* 5回中2回、3の倍数が出る確率は、二項分布の考え方から求められます。

二項分布の確率の公式は、${}_n C_r p^r (1-p)^{n-r}$ です。ここで、$n$は試行回数、$r$は成功回数、$p$は成功確率です。

* この問題では、$n=5$, $r=2$, $p=\frac{1}{3}$ なので、確率は ${}_5 C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3$ です。

* ${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

* $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

* $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

* したがって、確率は $10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$ となります。

(2) 6の約数の目がちょうど4回出る確率

* サイコロを1回振ったとき、6の約数（1, 2, 3, 6）が出る確率は、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$です。

* 6の約数でない目が出る確率は、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。

* 5回中4回、6の約数が出る確率は、二項分布の考え方から求められます。

* この問題では、$n=5$, $r=4$, $p=\frac{2}{3}$ なので、確率は ${}_5 C_4 (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^1$ です。

* ${}_5 C_4 = \frac{5!}{4!1!} = 5$

* $(\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$

* $(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$

* したがって、確率は $5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) カ

(2) カ