ある病気の簡易検査法について、以下の情報が与えられています。 * 病気にかかっている人が、かかっていないと誤判定される確率: $\frac{1}{10}$ * 病気にかかっていない人が、かかっていると誤判定される確率: $\frac{1}{20}$ * 集団全体で病気にかかっている人の割合: $\frac{1}{50}$ この集団から1人を選んで検査したとき、以下の確率を求めます。 (1) 病気にかかっていると判定される確率 (2) 病気にかかっていると判定されたとき、実際にはかかっていない確率 (3) 病気にかかっていないと判定されたとき、実際にはかかっている確率

1. 問題の内容

ある病気の簡易検査法について、以下の情報が与えられています。

* 病気にかかっている人が、かかっていないと誤判定される確率: $\frac{1}{10}$

* 病気にかかっていない人が、かかっていると誤判定される確率: $\frac{1}{20}$

* 集団全体で病気にかかっている人の割合: $\frac{1}{50}$

この集団から1人を選んで検査したとき、以下の確率を求めます。

(1) 病気にかかっていると判定される確率

(2) 病気にかかっていると判定されたとき、実際にはかかっていない確率

(3) 病気にかかっていないと判定されたとき、実際にはかかっている確率

2. 解き方の手順

(1) 病気にかかっていると判定される確率

まず、人が病気にかかっている確率を$P(A)$、病気にかかっていない確率を$P(\overline{A})$、病気にかかっていると判定される確率を$P(B)$、病気にかかっていないと判定される確率を$P(\overline{B})$とします。

$P(A)=\frac{1}{50}$より、$P(\overline{A})=1-P(A) = 1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}$です。

病気にかかっている人が、かかっていると正しく判定される確率は $1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$ です。

病気にかかっていない人が、かかっていると誤判定される確率は $\frac{1}{20}$ です。

したがって、病気にかかっていると判定される確率 $P(B)$ は、以下のようになります。

$P(B) = P(A) \times P(B|A) + P(\overline{A}) \times P(B|\overline{A})$

$= \frac{1}{50} \times \frac{9}{10} + \frac{49}{50} \times \frac{1}{20}$

$= \frac{9}{500} + \frac{49}{1000} = \frac{18}{1000} + \frac{49}{1000} = \frac{67}{1000}$

(2) 病気にかかっていると判定されたとき、実際にはかかっていない確率

これは条件付き確率 $P(\overline{A}|B)$ を求める問題です。ベイズの定理を利用します。

$P(\overline{A}|B) = \frac{P(B|\overline{A}) \times P(\overline{A})}{P(B)}$

$= \frac{\frac{1}{20} \times \frac{49}{50}}{\frac{67}{1000}} = \frac{\frac{49}{1000}}{\frac{67}{1000}} = \frac{49}{67}$

(3) 病気にかかっていないと判定されたとき、実際にはかかっている確率

これは条件付き確率 $P(A|\overline{B})$ を求める問題です。

まず、病気にかかっていないと判定される確率 $P(\overline{B})$ を求めます。

$P(\overline{B}) = 1-P(B) = 1-\frac{67}{1000} = \frac{933}{1000}$

病気にかかっている人が、かかっていないと誤判定される確率は $\frac{1}{10}$ です。

したがって、$P(\overline{B}|A) = \frac{1}{10}$です。

$P(A|\overline{B}) = \frac{P(\overline{B}|A) \times P(A)}{P(\overline{B})}$

$= \frac{\frac{1}{10} \times \frac{1}{50}}{\frac{933}{1000}} = \frac{\frac{1}{500}}{\frac{933}{1000}} = \frac{1}{500} \times \frac{1000}{933} = \frac{2}{933}$

3. 最終的な答え

(1) 病気にかかっていると判定される確率: $\frac{67}{1000}$

(2) 病気にかかっていると判定されたとき、実際にはかかっていない確率: $\frac{49}{67}$

(3) 病気にかかっていないと判定されたとき、実際にはかかっている確率: $\frac{2}{933}$