袋の中に赤球が3個、青球が6個入っている。球を1個取り出し、色を確認した後、元に戻すという操作を6回繰り返す。以下の確率をそれぞれ選択肢から選ぶ問題である。 (1) 4回目に初めて青球が取り出される確率 (2) 5回目が終わったとき、青球が2回取り出されている確率 (3) 6回目で、青球がちょうど2回取り出される確率

1. 問題の内容

袋の中に赤球が3個、青球が6個入っている。球を1個取り出し、色を確認した後、元に戻すという操作を6回繰り返す。以下の確率をそれぞれ選択肢から選ぶ問題である。

(1) 4回目に初めて青球が取り出される確率

(2) 5回目が終わったとき、青球が2回取り出されている確率

(3) 6回目で、青球がちょうど2回取り出される確率

2. 解き方の手順

(1) 4回目に初めて青球が取り出される確率

これは、1回目から3回目まで赤球が出て、4回目に青球が出る確率である。

赤球が出る確率は $\frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

青球が出る確率は $\frac{6}{3+6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

よって、求める確率は $(\frac{1}{3})^3 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{81}$

(2) 5回目が終わったとき、青球が2回取り出されている確率

これは、5回のうち2回青球が出て、3回赤球が出る確率である。

5回中2回青球が出る組み合わせの数は ${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、求める確率は ${}_5C_2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^3 = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = 10 \times \frac{4}{243} = \frac{40}{243}$

(3) 6回目で、青球がちょうど2回取り出される確率

これは、6回のうち2回青球が出て、4回赤球が出る確率である。

6回中2回青球が出る組み合わせの数は ${}_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

よって、求める確率は ${}_6C_2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^4 = 15 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{81} = 15 \times \frac{4}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

(1)の答え: ア

(2)の答え: エ

(3)の答え: ウ

3. 最終的な答え

(1) ア

(2) エ

(3) ウ