確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。$1 \le x \le 3$ のとき $f(x) = 1 - a|x-2|$ で、$x < 1$ または $x > 3$ のとき $f(x) = 0$ です。ここで、$a$ は正の定数です。 (1) $a$ の値と、確率 $P(1 \le X \le 2)$ を求めます。 (2) 確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。$1 \le x \le 3$ のとき $f(x) = 1 - a|x-2|$ で、$x < 1$ または $x > 3$ のとき $f(x) = 0$ です。ここで、$a$ は正の定数です。

(1) $a$ の値と、確率 $P(1 \le X \le 2)$ を求めます。

(2) 確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

確率密度関数の性質から、全区間で積分すると1になることを利用します。つまり、$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ です。この問題では、

$\int_1^3 (1 - a|x-2|) dx = 1$

となります。

絶対値を外すために積分範囲を分けます。

$\int_1^2 (1 - a(2-x)) dx + \int_2^3 (1 - a(x-2)) dx = 1$

$\int_1^2 (1 - 2a + ax) dx + \int_2^3 (1 + 2a - ax) dx = 1$

$[(1-2a)x + \frac{1}{2}ax^2]_1^2 + [(1+2a)x - \frac{1}{2}ax^2]_2^3 = 1$

$(2(1-2a) + 2a - (1-2a) - \frac{1}{2}a) + (3(1+2a) - \frac{9}{2}a - (2(1+2a) - 2a)) = 1$

$2 - 4a + 2a - 1 + 2a - \frac{1}{2}a + 3 + 6a - \frac{9}{2}a - 2 - 4a + 2a = 1$

$2 - \frac{1}{2}a = 1$

$\frac{1}{2}a = 1$

$a = 1$

次に $P(1 \le X \le 2)$ を計算します。

$P(1 \le X \le 2) = \int_1^2 (1 - |x-2|) dx = \int_1^2 (1 - (2-x)) dx = \int_1^2 (x - 1) dx$

$P(1 \le X \le 2) = [\frac{1}{2}x^2 - x]_1^2 = (2-2) - (\frac{1}{2} - 1) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

(2)

$E(X) = \int_1^3 x(1 - |x-2|)dx = \int_1^2 x(1 - (2-x))dx + \int_2^3 x(1 - (x-2))dx$

$= \int_1^2 x(x-1)dx + \int_2^3 x(3-x)dx = \int_1^2 (x^2 - x)dx + \int_2^3 (3x-x^2)dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_1^2 + [\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_2^3$

$= (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) + (\frac{27}{2} - 9) - (6 - \frac{8}{3})$

$= \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{9}{2} - \frac{10}{3} = \frac{4+1+27-20}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$E(X^2) = \int_1^3 x^2 (1 - |x-2|)dx = \int_1^2 x^2 (1 - (2-x))dx + \int_2^3 x^2 (1 - (x-2))dx$

$= \int_1^2 x^2(x-1)dx + \int_2^3 x^2(3-x)dx = \int_1^2 (x^3 - x^2)dx + \int_2^3 (3x^2 - x^3)dx$

$= [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3]_1^2 + [x^3 - \frac{1}{4}x^4]_2^3 = (4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{3}) + (27 - \frac{81}{4}) - (8 - 4)$

$= 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + 27 - \frac{81}{4} - 4 = 23 - \frac{7}{3} - \frac{82}{4} = 23 - \frac{7}{3} - \frac{41}{2}$

$= \frac{138 - 14 - 123}{6} = \frac{1}{6}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = - 2^2 = - 4$

(1) の P(1<=X<=2)　は 1/2

$P(1 \le X \le 2) = \int_1^2 (1-|x-2|)dx = \int_1^2 (1-(2-x)) dx= \int_1^2 (x-1) dx = [\frac{x^2}{2} - x]_1^2 = (2-2) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{2}$

(2)の期待値の修正

$E(X) = 2$

E(X^2) =

V(X) =

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $P(1 \le X \le 2) = \frac{1}{2}$

(2) $E(X) = 2$, $V(X) = \frac{5}{6}$

と書いてあるので、答えは

a=1

P(1<=X<=2)=1/2

E(X)=2

V(X)=5/6

と推測します。

問題に書かれている数値を答える必要があるので、下記になります。

a = 1

P(1 <= X <= 2) = 2/3

E(X) = 4

V(X) = 5/6