原点から出発し、硬貨の表が出たら+2、裏が出たら-1移動する点Pがある。硬貨を8回投げるとき、以下の確率を求める。 (1) 点Pの座標がちょうど1になる確率 (2) 点Pの座標が負の数になる確率

1. 問題の内容

原点から出発し、硬貨の表が出たら+2、裏が出たら-1移動する点Pがある。硬貨を8回投げるとき、以下の確率を求める。

(1) 点Pの座標がちょうど1になる確率

(2) 点Pの座標が負の数になる確率

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標が1になる確率

表が出た回数を $x$、裏が出た回数を $y$ とすると、以下の連立方程式が成り立つ。

$x + y = 8$

$2x - y = 1$

この連立方程式を解くと、$x = 3$、$y = 5$ となる。つまり、表が3回、裏が5回出れば良い。

8回中3回表が出る確率は、二項分布より

$\binom{8}{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^5 = \frac{8!}{3!5!} (\frac{1}{2})^8 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{256} = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256} = \frac{7}{32}$

(2) 点Pの座標が負の数になる確率

点Pの座標が負の数になるのは、$2x - y < 0$ のときである。$x + y = 8$ より、$y = 8 - x$。

$2x - (8 - x) < 0$

$3x < 8$

$x < \frac{8}{3} = 2.666...$

つまり、表の回数 $x$ が 0, 1, 2 回のいずれかであれば良い。

* $x = 0$ のとき、確率は $\binom{8}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{256}$

* $x = 1$ のとき、確率は $\binom{8}{1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^7 = \frac{8}{256}$

* $x = 2$ のとき、確率は $\binom{8}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^6 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$

これらの確率を合計すると、$\frac{1}{256} + \frac{8}{256} + \frac{28}{256} = \frac{37}{256}$

3. 最終的な答え

(1) 点Pの座標がちょうど1になる確率: エ. $\frac{7}{32}$

(2) 点Pの座標が負の数になる確率: ク. $\frac{37}{256}$