AとBの2人が卓球の試合をする。Aが1試合で勝つ確率は $\frac{2}{3}$、Bが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。先に3回勝った方が優勝するとき、以下の確率を求めよ。 (1) 4試合目でAの優勝が決まる確率 (2) 5試合目でAの優勝が決まる確率 (3) Bが優勝する確率

1. 問題の内容

AとBの2人が卓球の試合をする。Aが1試合で勝つ確率は $\frac{2}{3}$、Bが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。先に3回勝った方が優勝するとき、以下の確率を求めよ。

(1) 4試合目でAの優勝が決まる確率

(2) 5試合目でAの優勝が決まる確率

(3) Bが優勝する確率

2. 解き方の手順

(1) 4試合目でAの優勝が決まる場合、3試合目までにAが2勝し、4試合目でAが勝つ必要がある。

3試合目までにAが2勝する確率は、反復試行の確率の公式より、

${}_3C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^1 = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

4試合目でAが勝つ確率は $\frac{2}{3}$ なので、求める確率は

$\frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$

(2) 5試合目でAの優勝が決まる場合、4試合目までにAが2勝し、5試合目でAが勝つ必要がある。

4試合目までにAが2勝する確率は、反復試行の確率の公式より、

${}_4C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

5試合目でAが勝つ確率は $\frac{2}{3}$ なので、求める確率は

$\frac{8}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{16}{81}$

(3) Bが優勝する確率は、3試合目、4試合目、5試合目でBが優勝する場合を考える。

3試合目でBが優勝する確率は $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

4試合目でBが優勝する確率は、3試合目までにBが2勝し、4試合目でBが勝つ場合なので、

${}_3C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$

5試合目でBが優勝する確率は、4試合目までにBが2勝し、5試合目でBが勝つ場合なので、

${}_4C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{3} = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{243} = \frac{8}{81}$

したがって、Bが優勝する確率は

$\frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{8}{81} = \frac{3}{81} + \frac{6}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}$

3. 最終的な答え

(1) 4試合目でAの優勝が決まる確率: $\frac{8}{27}$

(2) 5試合目でAの優勝が決まる確率: $\frac{16}{81}$

(3) Bが優勝する確率: $\frac{17}{81}$