底面の半径が8cm、高さが12cmの円錐Pを底面に平行な面で切断し、円錐Qと立体Aに分ける。円錐PとQの高さの比が4:3であるとき、立体Aの体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が8cm、高さが12cmの円錐Pを底面に平行な面で切断し、円錐Qと立体Aに分ける。円錐PとQの高さの比が4:3であるとき、立体Aの体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、円錐Pの体積を求める。円錐の体積は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で求められる。

ここで、$r = 8$ cm、$h = 12$ cmであるから、

$V_P = \frac{1}{3} \pi (8^2) (12) = \frac{1}{3} \pi (64)(12) = 256 \pi$ cm$^3$

次に、円錐Qの体積を求める。

円錐PとQの高さの比が4:3なので、円錐Qの高さは $12 \times \frac{3}{4} = 9$ cmとなる。

また、相似な図形において、高さの比と底面の半径の比は等しいので、円錐Qの底面の半径を $r_Q$ とすると、

$\frac{r_Q}{8} = \frac{3}{4}$

$r_Q = 8 \times \frac{3}{4} = 6$ cm

したがって、円錐Qの体積は、

$V_Q = \frac{1}{3} \pi (6^2) (9) = \frac{1}{3} \pi (36)(9) = 108 \pi$ cm$^3$

最後に、立体Aの体積は、円錐Pの体積から円錐Qの体積を引いたものなので、

$V_A = V_P - V_Q = 256 \pi - 108 \pi = 148 \pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

$148 \pi$ cm$^3$