全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A, B$ について、$A \cap B = \{2\}$, $\overline{A \cup B} = \{1, 9\}$, $A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$ が与えられたとき、集合 $B$ の要素の個数と、$(\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A, B$ について、$A \cap B = \{2\}$, $\overline{A \cup B} = \{1, 9\}$, $A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$ が与えられたとき、集合 $B$ の要素の個数と、$(\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 集合 $A$ と $B$ を求めます。

$A \cap B = \{2\}$ より、$2 \in A$ かつ $2 \in B$。

$A \cap \overline{B} = \{4, 6\}$ より、$4 \in A$ かつ $4 \notin B$, $6 \in A$ かつ $6 \notin B$。

$\overline{A \cup B} = \{1, 9\}$ より、$1 \notin A$ かつ $1 \notin B$, $9 \notin A$ かつ $9 \notin B$。

集合 $A$ に含まれる要素は $2, 4, 6$ なので、$A = \{2, 4, 6\} \cup X$ の形で表せます。

集合 $B$ に含まれる要素は $2$ なので、$B = \{2\} \cup Y$ の形で表せます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 9\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ です。

$A = \{2, 4, 6\}, B = \{2, 3, 5, 7, 8\}$ とすると、$A \cap B = \{2\}, A \cap \overline{B} = \{4, 6\}, A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}, \overline{A \cup B} = \{1, 9\}$ となり、与えられた条件を満たします。

したがって、$A = \{2, 4, 6\}, B = \{2, 3, 5, 7, 8\}$ です。

(2) 集合 $B$ の要素の個数を求めます。

$B = \{2, 3, 5, 7, 8\}$ なので、集合 $B$ の要素の個数は5です。

(3) $(\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ を求めます。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\} \cap \{2, 3, 5, 7, 8\} = \{3, 5, 7, 8\}$

$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 6\} \cap \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 3, 5, 7, 8\} = \{1, 4, 6, 9\}$ より $A \cap \overline{B}=\{4, 6\}$

$(\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{3, 5, 7, 8\} \cup \{4, 6\} = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

ただし、問題文に、$(\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{カ, キ, ク\}$ かつ $カ < キ < ク$ とあるので$\{3, 5, 7, 8\} \cup \{4, 6\}$の中から3つの要素を選び出す必要があります。問題文に誤りがある可能性があります。

$(\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$の中から$3<4<5$を選ぶと$\{3,4,5\}$になります。

3. 最終的な答え

集合Bの要素の個数：5

$(\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$：3, 4, 5