8人の生徒を、以下の条件で組分けする方法の数をそれぞれ求める問題です。 (1) 4人、3人、1人の3組に分ける。 (2) 4人、4人の2つの組A、Bに分ける。 (3) 4人、4人の2組に分ける。 (4) 4人、2人、2人の3組に分ける。 (5) 2人、2人、2人、2人の4組に分ける。

1. 問題の内容

8人の生徒を、以下の条件で組分けする方法の数をそれぞれ求める問題です。

(1) 4人、3人、1人の3組に分ける。

(2) 4人、4人の2つの組A、Bに分ける。

(3) 4人、4人の2組に分ける。

(4) 4人、2人、2人の3組に分ける。

(5) 2人、2人、2人、2人の4組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、1人の3組に分ける。

まず、8人から4人を選ぶ組み合わせは $_8C_4$通り。

次に、残りの4人から3人を選ぶ組み合わせは $_4C_3$通り。

最後に、残りの1人から1人を選ぶ組み合わせは $_1C_1$通り。

したがって、求める組み合わせの数は、

$_8C_4 \times _4C_3 \times _1C_1 = \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{3!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = 70 \times 4 \times 1 = 280$ 通り。

(2) 4人、4人の2つの組A、Bに分ける。

まず、8人からAに入れる4人を選ぶ組み合わせは $_8C_4$通り。

残りの4人は自動的にBに入る。

したがって、求める組み合わせの数は $_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = 70$ 通り。

(3) 4人、4人の2組に分ける。

まず、8人から4人を選ぶ組み合わせは $_8C_4$通り。

残りの4人は自動的にもう一方の組に入る。

ただし、2つの組は区別しないので、2! で割る必要がある。

したがって、求める組み合わせの数は $\frac{_8C_4}{2!} = \frac{70}{2} = 35$ 通り。

(4) 4人、2人、2人の3組に分ける。

まず、8人から4人を選ぶ組み合わせは $_8C_4$通り。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2$通り。

2人の組は区別しないので、2! で割る必要がある。

したがって、求める組み合わせの数は、

$\frac{_8C_4 \times _4C_2 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2} = \frac{70 \times 6 \times 1}{2} = 210$ 通り。

(5) 2人、2人、2人、2人の4組に分ける。

まず、8人から2人を選ぶ組み合わせは $_8C_2$通り。

次に、残りの6人から2人を選ぶ組み合わせは $_6C_2$通り。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは $_2C_2$通り。

4つの組は区別しないので、4! で割る必要がある。

したがって、求める組み合わせの数は、

$\frac{_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{4!} = \frac{\frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{4!} = \frac{28 \times 15 \times 6 \times 1}{24} = \frac{2520}{24} = 105$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 280通り

(2) 70通り

(3) 35通り

(4) 210通り

(5) 105通り