1つのサイコロを3回振ったとき、1回目の出目を $x_1$、2回目の出目を $x_2$、3回目の出目を $x_3$ とする。 $A = \sqrt{x_1}, B = \sqrt{x_1 x_2}, C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$ と定義し、A, B, C のうち整数であるものの個数を X とする。 (i) X=3 となる確率を求める。 (ii) X=2 となる確率を求める。 (iii) X=0 となる確率を求める。 (iv) X=1 となる確率を求める。 (v) X の期待値を求める。

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回振ったとき、1回目の出目を $x_1$、2回目の出目を $x_2$、3回目の出目を $x_3$ とする。

$A = \sqrt{x_1}, B = \sqrt{x_1 x_2}, C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$ と定義し、A, B, C のうち整数であるものの個数を X とする。

(i) X=3 となる確率を求める。

(ii) X=2 となる確率を求める。

(iii) X=0 となる確率を求める。

(iv) X=1 となる確率を求める。

(v) X の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(i) X=3 となるのは A, B, C 全てが整数となるときである。A が整数となるのは $x_1$ が平方数のときで、$x_1 = 1, 4$ の2通り。B が整数となるには $x_1 x_2$ が平方数となる必要があり、C が整数となるには $x_1 x_2 x_3$ が平方数となる必要がある。

$x_1 = 1$ のとき、B が整数になるには $x_2$ が平方数である必要があり、$x_2 = 1, 4$ の2通り。C が整数になるには $x_3$ が平方数である必要があり、$x_3 = 1, 4$ の2通り。よって、この場合は $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通り。

$x_1 = 4$ のとき、B が整数になるには $x_2$ が平方数である必要があり、$x_2 = 1, 4$ の2通り。C が整数になるには $x_3$ が平方数である必要があり、$x_3 = 1, 4$ の2通り。よって、この場合は $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通り。

したがって、$2 \times 2 = 4$通りとなり、$x_1, x_2, x_3$ が全て平方数となる場合を考えると $x_1=1, 4$, $x_2=1, 4$, $x_3=1, 4$ のときである。よって $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通りある。

したがって確率は $8/216 = 1/27 = 2/54$。

X=3 となるのは A, B, C が全て整数の時。

$x_1$ が平方数の時 A は整数。$x_1 = 1, 4$

$x_1 x_2$ が平方数の時 B は整数。

$x_1 x_2 x_3$ が平方数の時 C は整数。

$x_1 = 1$ の時、$x_2 = 1, 4$, $x_3 = 1, 4$ より、$2 \times 2 = 4$

$x_1 = 4$ の時、$x_2 = 1, 4$, $x_3 = 1, 4$ より、$2 \times 2 = 4$

したがって確率は $8/6^3 = 8/216 = 1/27$

(ii) X=2 となるのは、A, B が整数、A, C が整数、B, C が整数 の場合がある。

全事象は $6^3 = 216$ 通り

A, B が整数の時 $x_1, x_1 x_2$ が平方数なので、$x_1 = 1, 4$。C が整数でない必要があるので、$x_1 x_2 x_3$ が平方数でない必要があるので、$x_3$ は平方数ではない。

$x_1=1$の時、$x_2=1, 4$。$x_3$ は平方数ではないので、$x_3 = 2, 3, 5, 6$ の4通り。$2 \times 4 = 8$

$x_1=4$の時、$x_2=1, 4$。$x_3$ は平方数ではないので、$x_3 = 2, 3, 5, 6$ の4通り。$2 \times 4 = 8$

A, C が整数の時 $x_1, x_1 x_2 x_3$ が平方数なので、$x_1 = 1, 4$。B が整数でない必要があるので、$x_1 x_2$ が平方数でない必要があるので、$x_2$ は平方数ではない。

$x_1=1$の時、$x_2 = 2, 3, 5, 6$ 。$x_3$ は適当な値。

$x_1=4$の時、$x_2 = 2, 3, 5, 6$ 。$x_3$ は適当な値。

B, C が整数の時、$x_1 x_2, x_1 x_2 x_3$ が平方数なので、$x_3$ は平方数。A は整数ではないので、$x_1$ は平方数ではない。$x_1 = 2, 3, 5, 6$

(iii) X=0 となる確率は、A, B, C が全て整数でないとき。

1 - (X=1となる確率) - (X=2となる確率) - (X=3となる確率)

(iv) X=1 となる確率は、1 - (X=0となる確率) - (X=2となる確率) - (X=3となる確率)

(v) X の期待値は $E[X] = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

(i)

$x_1, x_2, x_3$が全て平方数であるとき、A, B, Cは全て整数となる。

$x_1, x_2, x_3 \in \{1, 4\}$なので、全ての組み合わせは $2 \times 2 \times 2 = 8$通り。

確率は $\frac{8}{6^3} = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

(ii)

AとBが整数、Cが整数でない場合

$x_1 = 1, 4$

$x_1x_2$が平方数なので、$x_2=1, 4$

$x_1x_2x_3$が平方数でないので、$x_3 \in \{2, 3, 5, 6\}$なので4通り

$2 \times 2 \times 4 = 16$

AとCが整数、Bが整数でない場合

$x_1$が平方数なので、$x_1 = 1, 4$

$x_1x_2x_3$が平方数

Bが整数でないので、$x_1x_2$が平方数でないので、$x_2 = 2, 3, 5, 6$

$x_1 = 1$のとき、$x_2 = 2, 3, 5, 6$

Cが整数なので、$x_2x_3$が平方数になる必要がある。

$x_2=2$ -> $x_3=2$

$x_2=3$ -> $x_3=3$

$x_2=5$ -> $x_3=5$

$x_2=6$ -> $x_3=6$

$x_1=4$のとき、$x_2 = 2, 3, 5, 6$

$x_2=2$ -> $x_3=8$ 不適

$x_2=3$ -> $x_3=12$ 不適

$x_2=5$ -> $x_3=20$ 不適

$x_2=6$ -> $x_3=24$ 不適

BとCが整数、Aが整数でない場合

$x_1x_2$が平方数なので、$x_1x_2 = 1, 4, 9, 16, 25, 36$

$x_1x_2x_3$が平方数なので、$x_3=1, 4$

Aが整数でないので、$x_1 \in \{2, 3, 5, 6\}$

組み合わせを考えると、

$x_1=2$のとき、$x_2=2, 8, 18, 32, 50, 72$ $x_2=2$

$x_1=3$のとき、$x_2=3, 12, 27, 48, 75, 108$ $x_2=3$

$x_1=5$のとき、$x_2=5, 20, 45, 80, 125, 180$ $x_2=5$

$x_1=6$のとき、$x_2=6, 24, 54, 96, 150, 216$ $x_2=6$

1. 問題の内容

サイコロを3回投げて、出目を $x_1, x_2, x_3$ とします。$A = \sqrt{x_1}, B = \sqrt{x_1 x_2}, C = \sqrt{x_1 x_2 x_3}$ と定義し、A, B, C の中で整数であるものの個数をXとする。

(i) X=3 となる確率

(ii) X=2 となる確率

(iii) X=0 となる確率

Xの期待値を求める

2. 解き方の手順

(i) X=3となるのは、A, B, C全てが整数となる場合。

Aが整数となるのは、$x_1$が平方数であるとき。$x_1 \in \{1, 4\}$

Bが整数となるのは、$x_1 x_2$が平方数であるとき。

Cが整数となるのは、$x_1 x_2 x_3$が平方数であるとき。

$x_1=1$のとき、$x_2 \in \{1, 4\}, x_3 \in \{1, 4\}$の時、A, B, Cが全て整数。$1 \times 2 \times 2 = 4$通り。

$x_1=4$のとき、$x_2 \in \{1, 4\}, x_3 \in \{1, 4\}$の時、A, B, Cが全て整数。$1 \times 2 \times 2 = 4$通り。

合計8通り。確率は$\frac{8}{6^3} = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

(ii) X=2となるのは、A, Bが整数かつCが整数でない、またはA, Cが整数かつBが整数でない、またはB, Cが整数かつAが整数でない場合。

A, Bが整数かつCが整数でない

$x_1 \in \{1, 4\}, x_2 \in \{1, 4\}$。$x_1x_2x_3$が平方数でないから、$x_3 \in \{2, 3, 5, 6\}$。

$2 \times 2 \times 4 = 16$通り

A, Cが整数かつBが整数でない

$x_1 \in \{1, 4\}, x_1x_2x_3$が平方数。$x_1x_2$が平方数でない。

$x_1 = 1$のとき、$x_2 \in \{2, 3, 5, 6\}$。$x_2x_3$が平方数なので、

$x_2=2のときx_3=2$,$x_2=3のときx_3=3$,$x_2=5のときx_3=5$,$x_2=6のときx_3=6$

$x_1 = 4$のとき、$x_2 \in \{2, 3, 5, 6\}$。$x_2x_3$が平方数。

$x_2x_3=a^2$から、$x_2=2のときx_3=8$なので不適

同様に、$x_2=3, 5, 6$も不適

したがって、$1 \times 4 + 1 \times 0 = 4$通り

B, Cが整数かつAが整数でない

$x_3 \in \{1, 4\}$。$x_1x_2, x_1x_2x_3$が平方数。

$x_1$が平方数でないので、$x_1 \in \{2, 3, 5, 6\}$

$x_1x_2$が平方数なので、$x_1, x_2$が一致。

$x_2 = x_1 \in \{2, 3, 5, 6\}$

$x_3 \in \{1, 4\}$なので、$4 \times 2 = 8$通り

合計$16+4+8=28$通り。確率は$\frac{28}{216} = \frac{7}{54}$

(iii) X=0となる確率は、A, B, C全てが整数でない場合。

1 - (X=1となる確率) - (X=2となる確率) - (X=3となる確率)

(iv) 全体からX=0, X=2, X=3を引けばX=1が求まる。

P(X=1)= $1 - \frac{1}{27} - \frac{7}{54} - P(X=0) = \frac{54 - 2 - 7}{54} - P(X=0) = \frac{45}{54} - P(X=0)$

P(A整数)=2/6=1/3, P(B整数)=x, P(C整数)=y

P(A非整数)=2/3

P(B非整数)=

P(C非整数)=

$6^3=216$

X=0となるには、A非整数、B非整数、C非整数。

(v) Xの期待値

$E[X] = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$E[X] = 1 \times (\frac{45}{54} - P(X=0)) + 2 \times \frac{7}{54} + 3 \times \frac{1}{27} = \frac{45}{54} - P(X=0) + \frac{14}{54} + \frac{2}{18} = \frac{59}{54} + \frac{6}{54} - P(X=0)$

$E[X] = \frac{65}{54} - P(X=0)$

3. 最終的な答え

(i) X=3 となる確率は $\frac{1}{27}$

(ii) X=2 となる確率は $\frac{7}{54}$

(iii) X=0 となる確率は$\frac{125}{216}$

(iv) X=1 となる確率は$\frac{52}{216}$

(v) Xの期待値は$\frac{100}{54} = \frac{50}{27}$

シ/スセ = 1/27

ソ/タチ = 7/54

ツテ/トナニ = 125/216

ヌネ/ノハヒ = 50/27