写像 $f: S \rightarrow T$ と $g: T \rightarrow U$ が与えられ、$U_1 \subset U$ であるとき、以下の等式を証明する問題です。 $(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$

1. 問題の内容

写像 $f: S \rightarrow T$ と $g: T \rightarrow U$ が与えられ、$U_1 \subset U$ であるとき、以下の等式を証明する問題です。

$(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$

2. 解き方の手順

この等式を証明するには、集合の包含関係を示すために、以下の2つを示す必要があります。

(1) $(g \circ f)^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(g^{-1}(U_1))$

(2) $f^{-1}(g^{-1}(U_1)) \subset (g \circ f)^{-1}(U_1)$

(1) の証明:

任意の $\alpha \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ をとります。

公式①より、$(g \circ f)(\alpha) \in U_1$ です。

$(g \circ f)(\alpha) = g(f(\alpha))$ なので、$g(f(\alpha)) \in U_1$ となります。

これは、$f(\alpha) \in g^{-1}(U_1)$ を意味します（公式②を参照）。

したがって、$\alpha \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ が成り立ちます。

(2) の証明:

任意の $\gamma \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ をとります。

これは、$f(\gamma) \in g^{-1}(U_1)$ を意味します。

したがって、$g(f(\gamma)) \in U_1$ が成り立ちます（公式②を参照）。

$g(f(\gamma)) = (g \circ f)(\gamma)$ なので、$(g \circ f)(\gamma) \in U_1$ となります。

公式①より、$\gamma \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$