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$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ を $f(x) = x^2$ で定義し、$T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\}$ とする。 (1) $f^{-1}(T_1^c)$ を求めよ。ここで、$T_1^c$は $T_1$ の補集合を表す。 (2) $(f^{-1}(T_1))^c$ を求めよ。ここで、$(f^{-1}(T_1))^c$ は $f^{-1}(T_1)$ の補集合を表す。

代数学集合写像逆写像補集合整数の性質
2025/8/6

1. 問題の内容

f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} を f(x)=x2f(x) = x^2 で定義し、T1={x∈Z∣x2>8}T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\} とする。
(1) f−1(T1c)f^{-1}(T_1^c) を求めよ。ここで、T1cT_1^cは T1T_1 の補集合を表す。
(2) (f−1(T1))c(f^{-1}(T_1))^c を求めよ。ここで、(f−1(T1))c(f^{-1}(T_1))^c は f−1(T1)f^{-1}(T_1) の補集合を表す。

2. 解き方の手順

(1) まず、T1cT_1^c を求める。T1={x∈Z∣x2>8}T_1 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\} なので、T1c={x∈Z∣x2≤8}T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\} である。
x2≤8x^2 \leq 8 を満たす整数 xx は、−2≤x≤2-2 \leq x \leq 2 の時、x=−2,−1,0,1,2x = -2, -1, 0, 1, 2を除く全ての整数である。 x=−2,−1,0,1,2x= -2, -1, 0, 1, 2 を除くと、xx は −2,−1,0,1,2-2, -1, 0, 1, 2 に限定されるから、x=−2,−1,0,1,2x = -2, -1, 0, 1, 2のとき、x2=4,1,0,1,4x^2 = 4, 1, 0, 1, 4となり、88以下になる。従って、T1c={x∈Z∣x2≤8}={−2,−1,0,1,2}T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\} である。
次に、f−1(T1c)f^{-1}(T_1^c) を求める。f−1(T1c)={x∈Z∣f(x)∈T1c}={x∈Z∣x2∈T1c}f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1^c\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in T_1^c\} である。
T1c={−2,−1,0,1,2}T_1^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\} なので、f−1(T1c)={x∈Z∣x2∈{−2,−1,0,1,2}}f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}\} となる。
x2x^2 は非負なので、x2=−2x^2 = -2 や x2=−1x^2 = -1 となる整数 xx は存在しない。
x2=0x^2 = 0 となるのは x=0x = 0 のとき、x2=1x^2 = 1 となるのは x=±1x = \pm 1 のとき、x2=2x^2 = 2 となる整数 xx は存在しない。
したがって、f−1(T1c)={x∈Z∣x2=0 or x2=1}={0,−1,1}={−1,0,1}f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 = 0 \text{ or } x^2 = 1\} = \{0, -1, 1\} = \{-1, 0, 1\} となる。
(2) まず、f−1(T1)f^{-1}(T_1) を求める。f−1(T1)={x∈Z∣f(x)∈T1}={x∈Z∣x2>8}f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid f(x) \in T_1\} = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\} である。
x2>8x^2 > 8 を満たす整数 xx は、x≥3x \geq 3 または x≤−3x \leq -3 である。
したがって、f−1(T1)={x∈Z∣x≥3 or x≤−3}f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \geq 3 \text{ or } x \leq -3\} である。
次に、(f−1(T1))c(f^{-1}(T_1))^c を求める。これは、f−1(T1)f^{-1}(T_1) の補集合なので、
(f−1(T1))c={x∈Z∣x2≤8}={−2,−1,0,1,2}(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\} である。

3. 最終的な答え

(1) 正解：f−1(T1c)={−1,0,1}f^{-1}(T_1^c) = \{-1, 0, 1\}
その理由：T1c={x∈Z∣x2≤8}={−2,−1,0,1,2}T_1^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\} であり、f−1(T1c)={x∈Z∣x2∈T1c}f^{-1}(T_1^c) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \in T_1^c\} を計算した結果。
(2) 正解：(f−1(T1))c={−2,−1,0,1,2}(f^{-1}(T_1))^c = \{-2, -1, 0, 1, 2\}
その理由：f−1(T1)={x∈Z∣x2>8}f^{-1}(T_1) = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 > 8\} であり、その補集合は (f−1(T1))c={x∈Z∣x2≤8}(f^{-1}(T_1))^c = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 \leq 8\} となるから。

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