次の2次関数のグラフの軸と頂点を求めよ。 (1) $y = x^2 - 4x$ (2) $y = -x^2 + 3x - 2$ (3) $y = 2x^2 + 8x + 12$ (4) $y = -2x^2 + 6x + 1$ (5) $y = 3x^2 - 5x + 1$ (6) $y = -3x^2 + 10x - 7$

1. 問題の内容

次の2次関数のグラフの軸と頂点を求めよ。

(1) $y = x^2 - 4x$

(2) $y = -x^2 + 3x - 2$

(3) $y = 2x^2 + 8x + 12$

(4) $y = -2x^2 + 6x + 1$

(5) $y = 3x^2 - 5x + 1$

(6) $y = -3x^2 + 10x - 7$

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成する。平方完成した式から頂点の座標と軸を求める。

$y=a(x-p)^2+q$ の形に変形すると、頂点の座標は$(p, q)$、軸は $x=p$ となる。

(1) $y = x^2 - 4x$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4$

$y = (x - 2)^2 - 4$

頂点: $(2, -4)$、軸: $x = 2$

(2) $y = -x^2 + 3x - 2$

$y = -(x^2 - 3x) - 2$

$y = -(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + \frac{9}{4} - 2$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4}$

頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$、軸: $x = \frac{3}{2}$

(3) $y = 2x^2 + 8x + 12$

$y = 2(x^2 + 4x) + 12$

$y = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 + 12$

$y = 2(x + 2)^2 + 4$

頂点: $(-2, 4)$、軸: $x = -2$

(4) $y = -2x^2 + 6x + 1$

$y = -2(x^2 - 3x) + 1$

$y = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + \frac{9}{2} + 1$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$

頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{2})$、軸: $x = \frac{3}{2}$

(5) $y = 3x^2 - 5x + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{5}{3}x) + 1$

$y = 3(x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{25}{36}) - \frac{25}{12} + 1$

$y = 3(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{13}{12}$

頂点: $(\frac{5}{6}, -\frac{13}{12})$、軸: $x = \frac{5}{6}$

(6) $y = -3x^2 + 10x - 7$

$y = -3(x^2 - \frac{10}{3}x) - 7$

$y = -3(x^2 - \frac{10}{3}x + \frac{25}{9}) + \frac{25}{3} - 7$

$y = -3(x - \frac{5}{3})^2 + \frac{4}{3}$

頂点: $(\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$、軸: $x = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(2, -4)$、軸: $x = 2$

(2) 頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$、軸: $x = \frac{3}{2}$

(3) 頂点: $(-2, 4)$、軸: $x = -2$

(4) 頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{11}{2})$、軸: $x = \frac{3}{2}$

(5) 頂点: $(\frac{5}{6}, -\frac{13}{12})$、軸: $x = \frac{5}{6}$

(6) 頂点: $(\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$、軸: $x = \frac{5}{3}$