$x = \sqrt{7} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{7} - \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \sqrt{7} + \sqrt{2}$、 $y = \sqrt{7} - \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 - y^2$ を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

$x+y$ と $x-y$ をそれぞれ計算します。

$x+y = (\sqrt{7} + \sqrt{2}) + (\sqrt{7} - \sqrt{2}) = \sqrt{7} + \sqrt{7} + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{7}$

$x-y = (\sqrt{7} + \sqrt{2}) - (\sqrt{7} - \sqrt{2}) = \sqrt{7} + \sqrt{2} - \sqrt{7} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

求めた $x+y$ と $x-y$ を $(x+y)(x-y)$ に代入します。

$(x+y)(x-y) = (2\sqrt{7})(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{7 \times 2} = 4\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{14}$