大量のトマトの重さを正規母集団と仮定し、そこから無作為に5個のトマトを抽出したところ、それぞれの重さが150g、167g、190g、172g、201gであった。このとき、トマトの重さの母平均の95%信頼区間を少数第一位まで求めよ。

1. 問題の内容

大量のトマトの重さを正規母集団と仮定し、そこから無作為に5個のトマトを抽出したところ、それぞれの重さが150g、167g、190g、172g、201gであった。このとき、トマトの重さの母平均の95%信頼区間を少数第一位まで求めよ。

2. 解き方の手順

まず、標本平均と標本標準偏差を計算する。

標本平均 $\bar{x}$ は、

$\bar{x} = \frac{150 + 167 + 190 + 172 + 201}{5} = \frac{880}{5} = 176$

標本標準偏差 $s$ は、まず各データの平均からの偏差を計算し、偏差の二乗和を求める。

(150-176)^2 = 676

(167-176)^2 = 81

(190-176)^2 = 196

(172-176)^2 = 16

(201-176)^2 = 625

偏差の二乗和 = 676 + 81 + 196 + 16 + 625 = 1594

標本分散 $s^2$ は、偏差の二乗和を自由度（標本サイズ-1）で割ったもの。

$s^2 = \frac{1594}{5-1} = \frac{1594}{4} = 398.5$

標本標準偏差 $s$ は、標本分散の平方根。

$s = \sqrt{398.5} \approx 19.96$

次に、母平均の95%信頼区間を求める。標本サイズが小さいので、t分布を使用する。

信頼区間は、

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x}$は標本平均、 $s$ は標本標準偏差、$n$ は標本サイズ、$t_{\alpha/2, n-1}$ は自由度 $n-1$ の t 分布における $\alpha/2$ の値である。

$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$なので、$\alpha/2 = 0.025$。自由度は $n-1 = 5-1 = 4$。

t分布表より、$t_{0.025, 4} \approx 2.776$

信頼区間は、

$176 \pm 2.776 \cdot \frac{19.96}{\sqrt{5}}$

$176 \pm 2.776 \cdot \frac{19.96}{2.236}$

$176 \pm 2.776 \cdot 8.926$

$176 \pm 24.78$

したがって、信頼区間は、

下限: $176 - 24.78 = 151.22 \approx 151.2$

上限: $176 + 24.78 = 200.78 \approx 200.8$

3. 最終的な答え

151.2g \<= 母平均 \<= 200.8g