与えられた対数の式を計算します。問題の式は $(\log_2 5 + \log_4 25)(\log_5 4 + \log_5 2)$です。

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算します。問題の式は $(\log_2 5 + \log_4 25)(\log_5 4 + \log_5 2)$です。

2. 解き方の手順

まず、$\log_4 25$を底を2に変換します。

$\log_4 25 = \frac{\log_2 25}{\log_2 4} = \frac{\log_2 5^2}{\log_2 2^2} = \frac{2\log_2 5}{2} = \log_2 5$

したがって、

$\log_2 5 + \log_4 25 = \log_2 5 + \log_2 5 = 2\log_2 5$

次に、$\log_5 4 + \log_5 2$を計算します。

$\log_5 4 + \log_5 2 = \log_5 (4 \times 2) = \log_5 8 = \log_5 2^3 = 3\log_5 2$

したがって、

$(\log_2 5 + \log_4 25)(\log_5 4 + \log_5 2) = (2\log_2 5)(3\log_5 2) = 6(\log_2 5)(\log_5 2)$

ここで、$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$の関係を使います。

$\log_5 2 = \frac{1}{\log_2 5}$

したがって、

$6(\log_2 5)(\log_5 2) = 6(\log_2 5)(\frac{1}{\log_2 5}) = 6 \times 1 = 6$

3. 最終的な答え

6