3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする△ABCについて、等式 $\gamma = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)\alpha + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)\beta$ が成り立つとき、次のものを求めよ。（問題文はここで終わっていますが、通常はこの後に求めるべき具体的なものが書かれているはずです。ここでは、一般的に考えられる問題として、三角形ABCの形状を特定することを目標として問題を解くことにします。）

1. 問題の内容

3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする△ABCについて、等式

$\gamma = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)\alpha + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)\beta$ が成り立つとき、次のものを求めよ。（問題文はここで終わっていますが、通常はこの後に求めるべき具体的なものが書かれているはずです。ここでは、一般的に考えられる問題として、三角形ABCの形状を特定することを目標として問題を解くことにします。）

2. 解き方の手順

与えられた式を変形して、$\gamma$ が $\alpha$ と $\beta$ によってどのように表現されるかを調べます。

まず、$\gamma$ を $\alpha$ と $\beta$ の線形結合で表す式から、点Cが線分ABをどのように分割するのかを考察します。

$\gamma = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)\alpha + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)\beta$ を変形します。

複素数 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ と $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ はそれぞれ、極形式で $e^{-i\pi/3}$ と $e^{i\pi/3}$ と表すことができます。したがって、

$\gamma = e^{-i\pi/3} \alpha + e^{i\pi/3} \beta$

この式は、点Cが点Aと点Bを結ぶ線分ABを、ある比率で内分する点ではないことを示唆しています。

与えられた関係式を、$\gamma - \alpha = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)(\beta - \alpha)$ のように変形することを考えます。

これは、ベクトルACを、ベクトルABを$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$倍することで得られることを示しています。

$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = e^{i\pi/3}$ ですから、ベクトルACはベクトルABを大きさは変えずに、$\pi/3$ (60度)回転させたものであることがわかります。

したがって、$\triangle ABC$ は正三角形であると推測できます。

$\angle BAC = \pi/3$ の正三角形

3. 最終的な答え

$\triangle ABC$ は $\angle BAC = \pi/3$ の二等辺三角形。

より具体的に、AC = AB であり、$\angle BAC = \pi/3$ である。

従って、$\triangle ABC$ は正三角形である。