2次関数 $y = x^2 - 2(a+3)x + a^2$ のグラフを C とし、C の頂点を P とする。 (1) 点 P の座標を求める。 (2) C が x 軸と異なる 2 点 A, B で交わるための a の条件と、そのときの線分 AB の長さを求める。 (3) (2) の条件下で、2 点 A, B と点 P を頂点とする $\triangle ABP$ が正三角形になるような a の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2(a+3)x + a^2$ のグラフを C とし、C の頂点を P とする。

(1) 点 P の座標を求める。

(2) C が x 軸と異なる 2 点 A, B で交わるための a の条件と、そのときの線分 AB の長さを求める。

(3) (2) の条件下で、2 点 A, B と点 P を頂点とする $\triangle ABP$ が正三角形になるような a の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2(a+3)x + a^2$ を平方完成する。

$y = (x - (a+3))^2 - (a+3)^2 + a^2 = (x - (a+3))^2 - (a^2 + 6a + 9) + a^2 = (x - (a+3))^2 - 6a - 9$

よって、頂点 P の座標は $(a+3, -6a-9)$。

(2) C が x 軸と異なる 2 点で交わる条件は、頂点 P の y 座標が負であること。

$-6a - 9 < 0$

$6a > -9$

$a > -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$

よって、$a > -\frac{3}{2}$。

C と x 軸の交点の x 座標は、$x^2 - 2(a+3)x + a^2 = 0$ の解。

解の公式より、

$x = \frac{2(a+3) \pm \sqrt{4(a+3)^2 - 4a^2}}{2} = (a+3) \pm \sqrt{(a+3)^2 - a^2} = (a+3) \pm \sqrt{a^2 + 6a + 9 - a^2} = (a+3) \pm \sqrt{6a+9}$

A, B の x 座標を $x_A, x_B$ とすると、

$x_A = (a+3) - \sqrt{6a+9}, \quad x_B = (a+3) + \sqrt{6a+9}$

線分 AB の長さは

$|x_B - x_A| = |(a+3) + \sqrt{6a+9} - ((a+3) - \sqrt{6a+9})| = |2\sqrt{6a+9}| = 2\sqrt{6a+9}$

(3) $\triangle ABP$ が正三角形になる条件は、$AB = \sqrt{3} \times (P の y 座標の絶対値)$ であること。

$2\sqrt{6a+9} = \sqrt{3} \times |-6a-9| = \sqrt{3} \times (-6a-9)$

両辺を 2 乗して、

$4(6a+9) = 3(36a^2 + 108a + 81)$

$24a+36 = 108a^2 + 324a + 243$

$108a^2 + 300a + 207 = 0$

$36a^2 + 100a + 69 = 0$

$(6a+23)(6a+3) = 0$

$a = -\frac{23}{6}, -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

条件 $a > -\frac{3}{2}$ を満たすのは、$a = -\frac{1}{2}$ のみ。

3. 最終的な答え

(1) P($a+3$, $-6a-9$)

(2) $a > -\frac{3}{2}$, $2\sqrt{6a+9}$

(3) $a = -\frac{1}{2}$

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