2つの円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 2つの円が異なる2点で交わることを示します。 (2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。 (3) 2つの円の交点と点(2, 3)を通る円の中心と半径を求めます。

はい、承知しました。問題の回答を作成します。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 - 10 = 0$ と $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示します。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。

(3) 2つの円の交点と点(2, 3)を通る円の中心と半径を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円が異なる2点で交わることを示す

円1: $x^2 + y^2 - 10 = 0$ の中心は(0, 0)、半径は$\sqrt{10}$

円2: $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ を変形すると、$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$となるので、中心は(1, 2)、半径は$\sqrt{5}$

2つの円の中心間の距離 $d$ は、$d = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}$

2つの円の半径の和は、$\sqrt{10} + \sqrt{5}$

2つの円の半径の差の絶対値は、 $|\sqrt{10} - \sqrt{5}| = \sqrt{10} - \sqrt{5}$

$|\sqrt{10} - \sqrt{5}| < \sqrt{5} < \sqrt{10} + \sqrt{5}$ であるから、2つの円は異なる2点で交わります。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求める

2つの円の方程式の差を計算します。

$(x^2 + y^2 - 2x - 4y) - (x^2 + y^2 - 10) = 0$

$-2x - 4y + 10 = 0$

$2x + 4y - 10 = 0$

$x + 2y - 5 = 0$

(3) 2つの円の交点と点(2, 3)を通る円の方程式を求める

2つの円の交点を通る円の方程式は、実数$k$を用いて次のように表すことができます。

$x^2 + y^2 - 10 + k(x + 2y - 5) = 0$

この円が点(2, 3)を通るため、

$2^2 + 3^2 - 10 + k(2 + 2(3) - 5) = 0$

$4 + 9 - 10 + k(2 + 6 - 5) = 0$

$3 + 3k = 0$

$k = -1$

したがって、求める円の方程式は、

$x^2 + y^2 - 10 - (x + 2y - 5) = 0$

$x^2 + y^2 - x - 2y - 5 = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = 5 + \frac{1}{4} + 1$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{25}{4}$

中心は$(\frac{1}{2}, 1)$、半径は$\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2つの円は異なる2点で交わる。（証明済み）

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式: $x + 2y - 5 = 0$

(3) 2つの円の交点と点(2, 3)を通る円の中心: $(\frac{1}{2}, 1)$、半径: $\frac{5}{2}$