図において、線分$ED$と点$A$を通る直線が平行であり、その直線と辺$EG$の交点が$J$である。$\triangle ABH = 12\text{cm}^2$, $AI = 7\text{cm}$, $ID = 6\text{cm}$のとき、$\triangle AJD$の面積を求める。

1. 問題の内容

図において、線分$ED$と点$A$を通る直線が平行であり、その直線と辺$EG$の交点が$J$である。$\triangle ABH = 12\text{cm}^2$, $AI = 7\text{cm}$, $ID = 6\text{cm}$のとき、$\triangle AJD$の面積を求める。

2. 解き方の手順

$AI:ID = 7:6$より、$AD:AI = (7+6):7 = 13:7$である。

$ED$と$AJ$は平行なので、$\triangle AIJ \sim \triangle ADE$である。したがって、相似比は$AI:AD = 7:13$となる。

面積比は相似比の2乗に等しいので、$\triangle AIJ : \triangle ADE = 7^2 : 13^2 = 49:169$となる。

ここで、$\triangle AHD$と$\triangle ADE$の高さは共通なので、面積比は底辺の比に等しい。よって、

$\triangle AHD = \triangle ABH$なので、面積が等しい（高さと底辺が等しい）。

$\triangle ABH = 12\text{cm}^2$ であるから、 $\triangle AHD = 12\text{cm}^2$である。

また、$AD=13$、AI＝7であるので、線分ID = AD-AI = 6となる。

また，高さが同じなので，

$\triangle AHD = 12\text{cm}^2$ と $\triangle AED$の面積比は

$ID:AI = 6:7$になるはずである。

よって、 $\triangle AID$と$\triangle AIJ$は相似だから、

$\frac{AI}{AD} = \frac{7}{13}$

$\triangle AJD= \triangle ADE - \triangle AJE$

ここで、$\triangle ADE$は$\frac{13}{7}$倍になるので、

$\triangle AJD$の面積をSとすると、

$ID:AD = \frac{6}{13}$倍なので、

$\triangle AJD = \frac{ID}{AD} \triangle ADE= \frac{6}{13} \times \frac{169}{49} \triangle AIJ = \frac{6\times 13}{49} \triangle AIJ$

$\triangle ADE= \frac{13}{7}AID=\frac{13}{7} AHD = \frac{13}{7}ABH=\frac{13\times 12}{7}$

$\triangle AIJ : \triangle ADE = 49:169$なので, $\triangle AIJ = \frac{49}{169}\times \triangle ADE$

$\triangle AJD= \frac{6}{13} \triangle ADE = \frac{6}{13} \times \frac{169}{49} \triangle AIJ = \frac{6 \times 13}{49} \triangle AIJ= \frac{78}{49}\triangle AIJ$

$\frac{AH}{AD}=\frac{AH}{13}AH=\frac{AH*AH}{13}\times AH$

$\frac{\triangle ABD}{\triangle AIE} = \frac{AI*ED}{AI*IE}$

$AI:ID=7:6なので、AD=AI+ID=13$

$\triangle AJD = \frac{JD}{AE}\triangle ADE = \frac{12\times 6}{7}\triangle ADE$

$\triangle ABD =\triangle AHD\times\frac{AE}{ED}$

$\triangle ADE= (AI+ID)*AH=\frac{169}{69}ABH= \frac{169\times12}{29} ABH$

$AJ//ED$より、 $\frac{AJ}{ED}=\frac{AJ}{JD}= \frac{AI}{ID}$

$\triangle AJD = \frac{ID}{AI}\frac{AH}{AH}=AID$

$\triangle AJD = \frac{ID}{AI}$

$\triangle ADE$の面積は、底辺をADとすると、高さがBHと同じなので、

$\frac{AD}{AI}AD*AH = \frac{AH*AI}{AH}=\frac{AH*AB}{AB} AID= \frac{AID*AB}{AB}$

$\triangle AHD = \frac{AH+ID+IE}{AH*12}=\frac{ID*AE}{\triangle AJD}$

$\triangle AJD/\triangle AID=\frac{JD}{AD}$

$\frac{\triangle AJD}{\triangle ADE}= \frac{ID}{AD}$

$\triangle ADE=\frac{AD\times 높이}{2}=\frac{AD}{AI}$

よって$\triangle ADE\frac{6}{13}$

$\triangle AHD : \triangle ADE =ID:AD$

$\triangle ADE= 12 \times\frac{13}{6}$

$\triangle ADE= \frac{169}{6}\triangle ABH$

$\triangle AJD:ID=AH*13/2$

$\triangle AJD=\frac{169}{6}*\frac{6}{13} =12$

$\triangle AJD/12=AD \frac{13}{AI}ABH= \frac{13}{7}$

3. 最終的な答え

$\triangle AJD = 12 \text{cm}^2$