以下の4つの関数をそれぞれ微分します。ただし、$n$は自然数です。 (1) $y = 2x^4 - 3x^3 + x - 5$ (2) $y = -\frac{3}{5}x^5 + 2x^3 - \frac{5}{2}x^2$ (3) $y = \frac{1}{3}(x-1)^3$ (4) $y = (x^n + 1)(x^n - 1)$

はい、承知いたしました。与えられた関数を微分します。

1. 問題の内容

以下の4つの関数をそれぞれ微分します。ただし、$n$は自然数です。

(1) $y = 2x^4 - 3x^3 + x - 5$

(2) $y = -\frac{3}{5}x^5 + 2x^3 - \frac{5}{2}x^2$

(3) $y = \frac{1}{3}(x-1)^3$

(4) $y = (x^n + 1)(x^n - 1)$

2. 解き方の手順

各関数について、微分を計算します。

(1) $y = 2x^4 - 3x^3 + x - 5$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(2x^4) = 8x^3$

$\frac{d}{dx}(-3x^3) = -9x^2$

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

$\frac{d}{dx}(-5) = 0$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 8x^3 - 9x^2 + 1$

(2) $y = -\frac{3}{5}x^5 + 2x^3 - \frac{5}{2}x^2$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(-\frac{3}{5}x^5) = -3x^4$

$\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2$

$\frac{d}{dx}(-\frac{5}{2}x^2) = -5x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -3x^4 + 6x^2 - 5x$

(3) $y = \frac{1}{3}(x-1)^3$

合成関数の微分を利用します。

$u = x - 1$とすると、$y = \frac{1}{3}u^3$

$\frac{dy}{du} = u^2$

$\frac{du}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = u^2 \cdot 1 = (x-1)^2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = (x-1)^2$

(4) $y = (x^n + 1)(x^n - 1)$

まず、式を展開します。

$y = x^{2n} - 1$

これを微分します。

$\frac{d}{dx}(x^{2n}) = 2nx^{2n-1}$

$\frac{d}{dx}(-1) = 0$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2nx^{2n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 8x^3 - 9x^2 + 1$

(2) $\frac{dy}{dx} = -3x^4 + 6x^2 - 5x$

(3) $\frac{dy}{dx} = (x-1)^2$

(4) $\frac{dy}{dx} = 2nx^{2n-1}$