写像 $f: S \rightarrow T$ と $g: T \rightarrow U$ が与えられ、$U_1 \subset U$ とする。このとき、以下の等式を証明する必要がある。 $(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$

1. 問題の内容

写像 $f: S \rightarrow T$ と $g: T \rightarrow U$ が与えられ、$U_1 \subset U$ とする。このとき、以下の等式を証明する必要がある。

$(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$

2. 解き方の手順

この等式を証明するために、以下の2つの包含関係を示す。

(1) $(g \circ f)^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(g^{-1}(U_1))$

(2) $f^{-1}(g^{-1}(U_1)) \subset (g \circ f)^{-1}(U_1)$

(1) の証明：任意の $a \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ をとる。定義より、

$(g \circ f)(a) \in U_1$

これは $g(f(a)) \in U_1$ を意味する。

公式②を用いると、$f(a) \in g^{-1}(U_1)$ である。

公式③を用いると、$a \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ である。

よって、$(g \circ f)^{-1}(U_1) \subset f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ が示された。

(2) の証明：任意の $\gamma \in f^{-1}(g^{-1}(U_1))$ をとる。定義より、$f(\gamma) \in g^{-1}(U_1)$ である。

定義より、$g(f(\gamma)) \in U_1$ である。

これは $(g \circ f)(\gamma) \in U_1$ を意味する。

公式①を用いると、$\gamma \in (g \circ f)^{-1}(U_1)$ である。

よって、$f^{-1}(g^{-1}(U_1)) \subset (g \circ f)^{-1}(U_1)$ が示された。

上記(1),(2)より、

$(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)^{-1}(U_1) = f^{-1}(g^{-1}(U_1))$