複素数 $\alpha$ と $\beta$ が、条件 $\alpha^2 + \beta^2 = -\alpha\beta$ と $|\alpha + \beta| = 3$ を満たしている。 (1) $\frac{\beta}{\alpha}$ の偏角 $\theta$ を求める。（ただし、$0 \le \theta < 2\pi$） (2) $\alpha$ の絶対値を求める。 (3) 複素数平面上で、$\alpha, \beta, \alpha + \beta, -i\alpha, i\beta$ の表す5つの点を頂点とする五角形の面積を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ と $\beta$ が、条件 $\alpha^2 + \beta^2 = -\alpha\beta$ と $|\alpha + \beta| = 3$ を満たしている。

(1) $\frac{\beta}{\alpha}$ の偏角 $\theta$ を求める。（ただし、$0 \le \theta < 2\pi$）

(2) $\alpha$ の絶対値を求める。

(3) 複素数平面上で、$\alpha, \beta, \alpha + \beta, -i\alpha, i\beta$ の表す5つの点を頂点とする五角形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -\alpha\beta$ より、$\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = 0$。

両辺を $\alpha^2$ で割ると、

$1 + \frac{\beta}{\alpha} + (\frac{\beta}{\alpha})^2 = 0$

$\frac{\beta}{\alpha} = z$ とおくと、$z^2 + z + 1 = 0$。

これを解くと、

$z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}$

$\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3}$

したがって、$\frac{\beta}{\alpha}$ の偏角は $\frac{2\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3}$。

(2) $|\alpha + \beta| = 3$ より、$|\alpha(1 + \frac{\beta}{\alpha})| = 3$。

$|1 + \frac{\beta}{\alpha}| = |1 + \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}| = |\frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$

よって、$|\alpha| \cdot 1 = 3$ より、$|\alpha| = 3$。

(3) 五角形の頂点は $\alpha, \beta, \alpha+\beta, -i\alpha, i\beta$。

$\alpha+\beta$を始点に平行移動してできる五角形の頂点は$\alpha-(\alpha+\beta)=-\beta, \beta-(\alpha+\beta)=-\alpha, 0, -i\alpha-(\alpha+\beta), i\beta-(\alpha+\beta)$

$\alpha, \beta$間の距離は$|\beta-\alpha| = |\alpha(\frac{\beta}{\alpha}-1)| = |\alpha| |\frac{\beta}{\alpha}-1|$

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ のとき、 $|\frac{\beta}{\alpha}-1| = |\frac{-3+i\sqrt{3}}{2}| = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}} = \sqrt{3}$

$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ のとき、 $|\frac{\beta}{\alpha}-1| = |\frac{-3-i\sqrt{3}}{2}| = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}} = \sqrt{3}$

したがって、$|\beta-\alpha| = 3\sqrt{3}$

$\alpha+\beta, -i\alpha, i\beta$ は三角形をつくる。

$\alpha+\beta, i\beta$間の距離は$|i\beta-(\alpha+\beta)|$

$\alpha, -i\alpha$間の距離は $|\alpha - (-i\alpha)| = |\alpha||1+i| = 3\sqrt{2}$

$\beta, i\beta$間の距離は $|\beta - i\beta| = |\beta||1-i| = |\alpha \frac{\beta}{\alpha}||1-i| = 3| \frac{\beta}{\alpha}||1-i| = 3\sqrt{2}$

$\alpha+\beta$を原点に平行移動すると, $\alpha, \beta, -i\alpha, i\beta$ はそれぞれ $\alpha-(\alpha+\beta)=-\beta$, $\beta-(\alpha+\beta)=-\alpha$, $-i\alpha-(\alpha+\beta)$, $i\beta-(\alpha+\beta)$ になる。

$\alpha$と$\beta$の関係式を思い出すと、$|\alpha+\beta|=3$なので、この五角形を$\alpha+\beta$を原点に平行移動したものを考えたほうが簡単そう。

五角形は三角形$\alpha, \beta, \alpha+\beta$と三角形$\alpha, -i\alpha, 0$と三角形$\beta, i\beta, 0$の和とみる。

三角形$\alpha, -i\alpha, 0$の面積は $\frac{1}{2} |\alpha|^2 = \frac{9}{2}$

三角形$\beta, i\beta, 0$の面積は $\frac{1}{2} |\beta|^2 = \frac{1}{2} |\alpha\frac{\beta}{\alpha}|^2 = \frac{1}{2} |\alpha|^2 |\frac{\beta}{\alpha}|^2 = \frac{9}{2}$

$\alpha, \beta, \alpha+\beta$ の関係式は $\alpha^2+\beta^2 = -\alpha\beta$ である。この三角形の面積は $\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

したがって、五角形の面積は $\frac{9}{2}+\frac{9}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{4} = 9 + \frac{9\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\pi}{3}$ または $\frac{4\pi}{3}$

(2) 3

(3) $9 + \frac{9\sqrt{3}}{4}$