初項3、公比$r$の等比数列$\{a_n\}$があり、$a_4 = -24$である。数列$\{b_n\}$があり、その初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると、$S_n = \frac{1}{2}n(3n-17)$である。 (1) $r$を求めよ。また、数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ。 (2) $b_1$を求めよ。また、数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表せ。 (3) $T = \sum_{k=1}^{5} |a_k| - \sum_{k=1}^{5} a_k$とする。$T$の値を求めよ。また、$T \ge b_n^2 + 20b_n - 2$を満たす最大の自然数$n$の値を求めよ。

1. 問題の内容

初項3、公比$r$の等比数列$\{a_n\}$があり、$a_4 = -24$である。数列$\{b_n\}$があり、その初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると、$S_n = \frac{1}{2}n(3n-17)$である。

(1) $r$を求めよ。また、数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ。

(2) $b_1$を求めよ。また、数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表せ。

(3) $T = \sum_{k=1}^{5} |a_k| - \sum_{k=1}^{5} a_k$とする。$T$の値を求めよ。また、$T \ge b_n^2 + 20b_n - 2$を満たす最大の自然数$n$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列の一般項は、$a_n = a_1 r^{n-1}$で表される。

$a_1 = 3$より、$a_4 = 3r^3$である。

$a_4 = -24$より、$3r^3 = -24$

$r^3 = -8$

$r = -2$

したがって、$a_n = 3(-2)^{n-1}$

(2)

$S_n = \frac{1}{2}n(3n-17)$

$b_1 = S_1 = \frac{1}{2}(1)(3(1)-17) = \frac{1}{2}(3-17) = \frac{1}{2}(-14) = -7$

$n \ge 2$のとき、$b_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n - S_{n-1} = \frac{1}{2}n(3n-17) - \frac{1}{2}(n-1)(3(n-1)-17) = \frac{1}{2}n(3n-17) - \frac{1}{2}(n-1)(3n-3-17)$

$= \frac{1}{2}n(3n-17) - \frac{1}{2}(n-1)(3n-20) = \frac{1}{2}(3n^2-17n - (3n^2-20n-3n+20)) = \frac{1}{2}(3n^2-17n - (3n^2-23n+20))$

$= \frac{1}{2}(3n^2 - 17n - 3n^2 + 23n - 20) = \frac{1}{2}(6n - 20) = 3n - 10$

$b_n = 3n - 10$

$b_1 = 3(1) - 10 = -7$なので、$n = 1$のときも成り立つ。

したがって、$b_n = 3n - 10$

(3)

$a_1 = 3$

$a_2 = 3(-2)^1 = -6$

$a_3 = 3(-2)^2 = 12$

$a_4 = 3(-2)^3 = -24$

$a_5 = 3(-2)^4 = 48$

$\sum_{k=1}^5 |a_k| = |3| + |-6| + |12| + |-24| + |48| = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$

$\sum_{k=1}^5 a_k = 3 - 6 + 12 - 24 + 48 = 33$

$T = \sum_{k=1}^5 |a_k| - \sum_{k=1}^5 a_k = 93 - 33 = 60$

$T \ge b_n^2 + 20b_n - 2$

$60 \ge (3n-10)^2 + 20(3n-10) - 2$

$60 \ge 9n^2 - 60n + 100 + 60n - 200 - 2$

$60 \ge 9n^2 - 102$

$162 \ge 9n^2$

$18 \ge n^2$

$n \le \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24$

最大の自然数$n$は4

3. 最終的な答え

(1) $r = -2$, $a_n = 3(-2)^{n-1}$

(2) $b_1 = -7$, $b_n = 3n - 10$

(3) $T = 60$, $n = 4$