実数 $x$ について、不等式 $|2x + 4| - |x - 4| > 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ について、不等式 $|2x + 4| - |x - 4| > 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号があるので、場合分けをして考えます。

場合1：$x < -2$ のとき

$2x + 4 < 0$ かつ $x - 4 < 0$ なので、不等式は

$-(2x + 4) - (-(x - 4)) > 0$

$-2x - 4 + x - 4 > 0$

$-x - 8 > 0$

$-x > 8$

$x < -8$

これは、$x < -2$ を満たすので、$x < -8$ が解の候補です。

場合2：$-2 \le x < 4$ のとき

$2x + 4 \ge 0$ かつ $x - 4 < 0$ なので、不等式は

$(2x + 4) - (-(x - 4)) > 0$

$2x + 4 + x - 4 > 0$

$3x > 0$

$x > 0$

これは、$-2 \le x < 4$ を満たす範囲において、$0 < x < 4$ が解の候補です。

場合3：$x \ge 4$ のとき

$2x + 4 > 0$ かつ $x - 4 \ge 0$ なので、不等式は

$(2x + 4) - (x - 4) > 0$

$2x + 4 - x + 4 > 0$

$x + 8 > 0$

$x > -8$

これは、$x \ge 4$ を満たすので、$x \ge 4$ が解の候補です。

以上の結果をまとめると、$x < -8$, $0 < x < 4$, $x \ge 4$ です。したがって、$x < -8$ または $x > 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x < -8$ または $x > 0$