与えられた関数 $y = 2(x - 1)^2 + 1$ の最大値、最小値と、それぞれのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 2(x - 1)^2 + 1$ の最大値、最小値と、それぞれのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = 2(x - 1)^2 + 1$ は、2次関数であり、平方完成された形をしています。

$y = a(x - p)^2 + q$ の形の2次関数では、頂点の座標は $(p, q)$ であり、$a > 0$ のとき下に凸、$a < 0$ のとき上に凸の放物線となります。

この問題の関数では、$a = 2 > 0$ なので、下に凸の放物線となります。つまり、最小値は存在しますが、最大値は存在しません（$x$ がどこまでも大きくなれるため、$y$ もどこまでも大きくなれる）。

最小値は、頂点の $y$ 座標からわかります。頂点は $(1, 1)$ なので、最小値は $1$ です。このとき、$x = 1$ となります。

3. 最終的な答え

* 最大値: なし

* 最小値: $1$ ($x=1$ のとき)