関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ の、$0 < x < 3$ の範囲における最大値と最小値を求めます。最大値または最小値が存在しない場合は「なし」と答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ の、$0 < x < 3$ の範囲における最大値と最小値を求めます。最大値または最小値が存在しない場合は「なし」と答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数の頂点を求めます。

$y = 2x^2 - 4x + 3$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 2x) + 3$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$y = 2((x-1)^2 - 1) + 3$

$y = 2(x-1)^2 - 2 + 3$

$y = 2(x-1)^2 + 1$

したがって、この2次関数の頂点は $(1, 1)$ です。

$x^2$ の係数が正であるため、グラフは下に凸の放物線です。

つまり、頂点は最小値を与えます。

定義域は $0 < x < 3$ です。頂点のx座標は $x = 1$ であり、これは定義域に含まれます。

したがって、最小値は $y = 1$ （$x = 1$ のとき）です。

次に、最大値を求めます。

定義域は開区間 $(0, 3)$ であるため、$x = 0$ および $x = 3$ の時の $y$ の値を調べます。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$

$x = 3$ のとき、$y = 2(3)^2 - 4(3) + 3 = 18 - 12 + 3 = 9$

$x$ が3に近づくにつれて、$y$ は 9 に近づきます。しかし、$x = 3$ は定義域に含まれないため、$y$ は 9 をとることはありません。

同様に、$x$ が0に近づくにつれて、$y$ は 3 に近づきます。しかし、$x = 0$ は定義域に含まれないため、$y$ は 3 をとることはありません。

$x = 3$ に近いほど、$y$ は 9 に近づきます。したがって、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

最大値：なし ($x =$ なし のとき)

最小値：1 ($x = 1$ のとき)