与えられた式 $(a+2b-c+3d)(a-2b+c+3d)$ を展開し、$a^2-4b^2-c^2+9d^2 + \boxed{オ} ad + \boxed{カ} bc$ の形に変形したときの $\boxed{オ}$ と $\boxed{カ}$ に入る数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+2b-c+3d)(a-2b+c+3d)$ を展開し、$a^2-4b^2-c^2+9d^2 + \boxed{オ} ad + \boxed{カ} bc$ の形に変形したときの $\boxed{オ}$ と $\boxed{カ}$ に入る数を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式 $(a+2b-c+3d)(a-2b+c+3d)$ を展開します。

$(a+2b-c+3d)(a-2b+c+3d) = (a+3d + (2b-c))(a+3d - (2b-c))$

ここで、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を用います。

$A = a+3d$、$B = 2b-c$ とすると、

$(a+3d)^2 - (2b-c)^2 = a^2 + 6ad + 9d^2 - (4b^2 - 4bc + c^2)$

$= a^2 + 6ad + 9d^2 - 4b^2 + 4bc - c^2$

$= a^2 - 4b^2 - c^2 + 9d^2 + 6ad + 4bc$

したがって、$a^2-4b^2-c^2+9d^2 + \boxed{オ} ad + \boxed{カ} bc = a^2 - 4b^2 - c^2 + 9d^2 + 6ad + 4bc$ であるから、

$\boxed{オ} = 6$、$\boxed{カ} = 4$ となります。

3. 最終的な答え

オ: 6

カ: 4