関数 $y = (x-a)^2 - 2$ の $-2 \le x \le 1$ における最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

関数 $y = (x-a)^2 - 2$ の $-2 \le x \le 1$ における最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = (x-a)^2 - 2$ は、下に凸の放物線であり、軸は $x=a$ である。定義域は $-2 \le x \le 1$ である。

軸 $x=a$ の位置によって場合分けを行う。

(1) $a < -2$ のとき、

定義域 $-2 \le x \le 1$ において、関数は単調減少である。

したがって、$x=1$ で最小値をとる。

最小値は $y = (1-a)^2 - 2 = 1 - 2a + a^2 - 2 = a^2 - 2a - 1$ である。

(2) $-2 \le a \le 1$ のとき、

軸 $x=a$ が定義域内にあるため、$x=a$ で最小値をとる。

最小値は $y = (a-a)^2 - 2 = -2$ である。

(3) $1 < a$ のとき、

定義域 $-2 \le x \le 1$ において、関数は単調増加である。

したがって、$x=-2$ で最小値をとる。

最小値は $y = (-2-a)^2 - 2 = 4 + 4a + a^2 - 2 = a^2 + 4a + 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a < -2$ のとき、 $x=1$ で最小値 $a^2 - 2a - 1$

(2) $-2 \le a \le 1$ のとき、$x=a$ で最小値 $-2$

(3) $1 < a$ のとき、$x=-2$ で最小値 $a^2 + 4a + 2$