問題は大きく分けて2つあります。 * **[1]**: 2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、$\alpha, \beta$ の値を求め、$ \alpha + \beta $、$ \alpha \beta $、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。また、不等式 $\left(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}\right)x + 3(\alpha^2 - \beta^2) < 0$ を満たす正の整数 $x$ の個数を求める問題です。 * **[2]**: 実数 $c$ を定数として、不等式 $x \le \sqrt{c^2 - 2c + 1}$ を考えます。不等式 $x > 0$ かつ $x \le \sqrt{c^2 - 2c + 1}$ を満たす正の整数 $x$ の個数が5個であるような $c$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて2つあります。

* **[1]**: 2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の2つの実数解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とするとき、$\alpha, \beta$ の値を求め、$\alpha + \beta$、$\alpha \beta$、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。また、不等式 $\left(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}\right)x + 3(\alpha^2 - \beta^2) < 0$ を満たす正の整数 $x$ の個数を求める問題です。

* **[2]**: 実数 $c$ を定数として、不等式 $x \le \sqrt{c^2 - 2c + 1}$ を考えます。不等式 $x > 0$ かつ $x \le \sqrt{c^2 - 2c + 1}$ を満たす正の整数 $x$ の個数が5個であるような $c$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

**[1]**

1. 2次方程式 $x^2 - 4x + 2 = 0$ の解を求める。解の公式より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$\alpha < \beta$ より、$\alpha = 2 - \sqrt{2}$、$\beta = 2 + \sqrt{2}$

2. $\alpha + \beta$ を計算する。

$\alpha + \beta = (2 - \sqrt{2}) + (2 + \sqrt{2}) = 4$

3. $\alpha \beta$ を計算する。

$\alpha \beta = (2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$

4. $\alpha^2 + \beta^2$ を計算する。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 4^2 - 2(2) = 16 - 4 = 12$

5. 不等式 $\left(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}\right)x + 3(\alpha^2 - \beta^2) < 0$ を解く。

まず、$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{12}{2} = 6$

次に、$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 4((2 - \sqrt{2}) - (2 + \sqrt{2})) = 4(-2\sqrt{2}) = -8\sqrt{2}$

よって、不等式は $6x + 3(-8\sqrt{2}) < 0 \Rightarrow 6x - 24\sqrt{2} < 0 \Rightarrow 6x < 24\sqrt{2} \Rightarrow x < 4\sqrt{2}$

$4\sqrt{2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32} \approx \sqrt{36} = 6$

$x < 4\sqrt{2}$ を満たす正の整数 $x$ は、1, 2, 3, 4, 5 の 5個。

**[2]**

1. 不等式 $x \le \sqrt{c^2 - 2c + 1}$ を変形する。$\sqrt{c^2 - 2c + 1} = \sqrt{(c-1)^2} = |c-1|$

よって、$x \le |c-1|$

2. $x > 0$ かつ $x \le |c-1|$ を満たす正の整数 $x$ の個数が5個であるとき、$5 \le |c-1| < 6$ が成り立つ。

3. $5 \le |c-1| < 6$ を解く。

$5 \le c-1 < 6$ または $-6 < c-1 \le -5$

$6 \le c < 7$ または $-5 < c \le -4$

3. 最終的な答え

**[1]**

* $\alpha = 2 - \sqrt{2}$

* $\beta = 2 + \sqrt{2}$

* $\alpha + \beta = 4$

* $\alpha \beta = 2$

* $\alpha^2 + \beta^2 = 12$

* 不等式を満たす正の整数 $x$ の個数は 5個

**[2]**

* $6 \le c < 7$ または $-5 < c \le -4$