与えられた行列$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & p \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$（$p$は素数）と、有理数成分を持つ3次正方行列の集合$M_3(\mathbb{Q})$に対して、$Z(A) = \{X \in M_3(\mathbb{Q}) \mid AX = XA\}$という集合を定義します。 このとき、以下の問いに答えます。 (1) $Z(A)$が$M_3(\mathbb{Q})$の部分空間であることを示します。 (2) $AX = XA$を満たす$X \in M_3(\mathbb{Q})$をすべて求めます。 (3) $Z(A)$の基を求めます。 (4) 任意の$X, Y \in Z(A)$に対し、$XY \in Z(A)$となることを示します。 (5) 任意の$X \in Z(A)$に対し、$X$の余因子行列$\tilde{X}$も$\tilde{X} \in Z(A)$となることを示します。 (6) 方程式$x^3 + py^3 + p^2z^3 - 3pxyz = 0$が$(x, y, z) = (0, 0, 0)$以外の有理数解を持たないことを示します。 (7) 任意の$0 \neq X \in Z(A)$は正則で、$X^{-1} \in Z(A)$となることを示します。

1. 問題の内容

与えられた行列$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & p \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$（$p$は素数）と、有理数成分を持つ3次正方行列の集合$M_3(\mathbb{Q})$に対して、$Z(A) = \{X \in M_3(\mathbb{Q}) \mid AX = XA\}$という集合を定義します。

このとき、以下の問いに答えます。

(1) $Z(A)$が$M_3(\mathbb{Q})$の部分空間であることを示します。

(2) $AX = XA$を満たす$X \in M_3(\mathbb{Q})$をすべて求めます。

(3) $Z(A)$の基を求めます。

(4) 任意の$X, Y \in Z(A)$に対し、$XY \in Z(A)$となることを示します。

(5) 任意の$X \in Z(A)$に対し、$X$の余因子行列$\tilde{X}$も$\tilde{X} \in Z(A)$となることを示します。

(6) 方程式$x^3 + py^3 + p^2z^3 - 3pxyz = 0$が$(x, y, z) = (0, 0, 0)$以外の有理数解を持たないことを示します。

(7) 任意の$0 \neq X \in Z(A)$は正則で、$X^{-1} \in Z(A)$となることを示します。

2. 解き方の手順

(1) $Z(A)$が部分空間であることの証明：

$Z(A)$が$M_3(\mathbb{Q})$の部分空間であることを示すためには、以下の3つの条件を満たすことを示す必要があります。

(i) $Z(A)$は空集合ではない。

(ii) 任意の$X, Y \in Z(A)$に対し、$X + Y \in Z(A)$である。

(iii) 任意の$X \in Z(A)$と任意の$c \in \mathbb{Q}$に対し、$cX \in Z(A)$である。

(i) 零行列$O$は$AO = OA = O$を満たすので、$O \in Z(A)$。したがって、$Z(A)$は空集合ではない。

(ii) $X, Y \in Z(A)$とすると、$AX = XA$かつ$AY = YA$。したがって、$A(X+Y) = AX + AY = XA + YA = (X+Y)A$。よって、$X+Y \in Z(A)$。

(iii) $X \in Z(A)$と$c \in \mathbb{Q}$とすると、$AX = XA$。したがって、$A(cX) = c(AX) = c(XA) = (cX)A$。よって、$cX \in Z(A)$。

したがって、$Z(A)$は$M_3(\mathbb{Q})$の部分空間である。

(2) $AX = XA$を満たす$X$を求める：

$X = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$とおくと、$AX = \begin{pmatrix} pc & pa & pb \\ a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}$、$XA = \begin{pmatrix} b & c & pa \\ e & f & pd \\ h & i & pg \end{pmatrix}$。

$AX = XA$より、

$pc = b, pa = c, pb = pa$

$a = e, b = f, c = pd$

$d = h, e = i, f = pg$

これらの関係式をまとめると、

$a = e = i, b = pc, c = pa, d = h = c/p = a, f = b, g = d = a, h = a$

したがって、$b = pc, c = pa, f = pc, d = a, g = a$。

よって、$X = \begin{pmatrix} a & pc & pa \\ a & a & pc \\ a & a & a \end{pmatrix}$。

(3) $Z(A)$の基を求める：

(2)より、$X = a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

$X = \begin{pmatrix} a & pc & pa \\ a & a & pc \\ a & a & a \end{pmatrix} = aI + pc \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + pa \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$Z(A)$の基は$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\right\}$である。

3. 最終的な答え

(1) $Z(A)$は$M_3(\mathbb{Q})$の部分空間である。

(2) $AX = XA$を満たす$X \in M_3(\mathbb{Q})$は$X = \begin{pmatrix} a & pc & pa \\ a & a & pc \\ a & a & a \end{pmatrix}$ (a, cは有理数)。

(3) $Z(A)$の基の一例は $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$である。