与えられた微分方程式を解く問題です。特に、問題2と問題3が含まれています。問題2は、レーザー照射された物体の温度変化を表す微分方程式から定常状態の温度を求める問題です。問題3は、外力を受けて振動する質点の運動方程式を解き、一般解、初期条件を満たす解、十分時間が経過した後の運動を求める問題です。

## 微分方程式の問題と解答

1. **問題の内容**

与えられた微分方程式を解く問題です。特に、問題2と問題3が含まれています。問題2は、レーザー照射された物体の温度変化を表す微分方程式から定常状態の温度を求める問題です。問題3は、外力を受けて振動する質点の運動方程式を解き、一般解、初期条件を満たす解、十分時間が経過した後の運動を求める問題です。

2. **解き方の手順**

問題2：

与えられた微分方程式は、

$mc \frac{dT}{dt} = Q_{in} - \epsilon \sigma S T^4$

です。

定常状態では、$\frac{dT}{dt} = 0$ なので、

$Q_{in} - \epsilon \sigma S T^4 = 0$

となります。これを $T$ について解きます。

$T^4 = \frac{Q_{in}}{\epsilon \sigma S}$

$T = \sqrt[4]{\frac{Q_{in}}{\epsilon \sigma S}}$

ここで、各値を代入します。

$Q_{in} = 10 W$

$\epsilon = 0.2$

$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$

$S = \pi r^2$, ただし $r = 10 mm = 0.01 m$。したがって、$S = \pi (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4} m^2$

$T = \sqrt[4]{\frac{10}{0.2 \times 5.67 \times 10^{-8} \times \pi \times 10^{-4}}} = \sqrt[4]{\frac{10}{0.2 \times 5.67 \times \pi \times 10^{-12}}} = \sqrt[4]{\frac{10^{13}}{0.2 \times 5.67 \times \pi}} \approx \sqrt[4]{\frac{10^{13}}{3.56}} \approx \sqrt[4]{2.81 \times 10^{12}} \approx 726.5 K$

問題3：

(1) 一般解を求める。

与えられた運動方程式は、

$m \frac{dv}{dt} = -kv + F_0 \sin \omega t$

$\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = \frac{F_0}{m} \sin \omega t$

これは1階線形微分方程式です。積分因子は $e^{\int \frac{k}{m} dt} = e^{\frac{k}{m}t}$。両辺に積分因子を掛けて、

$e^{\frac{k}{m}t} \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} e^{\frac{k}{m}t} v = \frac{F_0}{m} e^{\frac{k}{m}t} \sin \omega t$

$\frac{d}{dt}(v e^{\frac{k}{m}t}) = \frac{F_0}{m} e^{\frac{k}{m}t} \sin \omega t$

両辺を積分すると、

$v e^{\frac{k}{m}t} = \frac{F_0}{m} \int e^{\frac{k}{m}t} \sin \omega t dt$

ここで、積分$\int e^{at} \sin bt dt = \frac{e^{at}(a \sin bt - b \cos bt)}{a^2 + b^2} + C$ を用いると、

$v e^{\frac{k}{m}t} = \frac{F_0}{m} \frac{e^{\frac{k}{m}t}(\frac{k}{m} \sin \omega t - \omega \cos \omega t)}{(\frac{k}{m})^2 + \omega^2} + C$

$v(t) = \frac{F_0}{m} \frac{(\frac{k}{m} \sin \omega t - \omega \cos \omega t)}{(\frac{k}{m})^2 + \omega^2} + C e^{-\frac{k}{m}t}$

$v(t) = \frac{F_0}{k^2 + m^2 \omega^2} (k \sin \omega t - m \omega \cos \omega t) + C e^{-\frac{k}{m}t}$

(2) 初期条件 $t = 0$ のとき $v = 0$ を満たす解を求める。

$0 = \frac{F_0}{k^2 + m^2 \omega^2} (k \sin 0 - m \omega \cos 0) + C e^0$

$0 = \frac{F_0}{k^2 + m^2 \omega^2} (- m \omega) + C$

$C = \frac{F_0 m \omega}{k^2 + m^2 \omega^2}$

$v(t) = \frac{F_0}{k^2 + m^2 \omega^2} (k \sin \omega t - m \omega \cos \omega t) + \frac{F_0 m \omega}{k^2 + m^2 \omega^2} e^{-\frac{k}{m}t}$

$v(t) = \frac{F_0}{k^2 + m^2 \omega^2} (k \sin \omega t - m \omega \cos \omega t + m \omega e^{-\frac{k}{m}t})$

(3) 十分に時間がたったときの質点の運動を説明する。

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{k}{m}t} \to 0$ なので、

$v(t) \approx \frac{F_0}{k^2 + m^2 \omega^2} (k \sin \omega t - m \omega \cos \omega t)$

これは、減衰振動ではなく、一定振幅の振動になります。

3. **最終的な答え**

問題2：

$T \approx 726.5 K$

問題3：

(1) $v(t) = \frac{F_0}{k^2 + m^2 \omega^2} (k \sin \omega t - m \omega \cos \omega t) + C e^{-\frac{k}{m}t}$

(2) $v(t) = \frac{F_0}{k^2 + m^2 \omega^2} (k \sin \omega t - m \omega \cos \omega t + m \omega e^{-\frac{k}{m}t})$

(3) $v(t) \approx \frac{F_0}{k^2 + m^2 \omega^2} (k \sin \omega t - m \omega \cos \omega t)$