質量 $m_1$ と $m_2$ の2つの物体が互いに力を及ぼし合いながら運動しており、それ以外の力は働いていない場合を考える。それぞれの物体の運動方程式と作用・反作用の法則から、2つの物体の運動量の合計が時間に依らず一定であることを示す。

1. 問題の内容

質量 $m_1$ と $m_2$ の2つの物体が互いに力を及ぼし合いながら運動しており、それ以外の力は働いていない場合を考える。それぞれの物体の運動方程式と作用・反作用の法則から、2つの物体の運動量の合計が時間に依らず一定であることを示す。

2. 解き方の手順

まず、各物体にかかる力を定義する。

物体1が物体2から受ける力を $\vec{F}_{21}$、物体2が物体1から受ける力を $\vec{F}_{12}$ とする。

作用・反作用の法則より、

$\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}$

次に、それぞれの物体の運動方程式を書く。

物体1の運動方程式は、

$m_1 \frac{d\vec{v}_1}{dt} = \vec{F}_{21}$

物体2の運動方程式は、

$m_2 \frac{d\vec{v}_2}{dt} = \vec{F}_{12}$

ここで、$\vec{v}_1$ と $\vec{v}_2$ はそれぞれの物体の速度である。

運動量の時間変化を考える。

物体1の運動量は $\vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1$、物体2の運動量は $\vec{p}_2 = m_2 \vec{v}_2$ である。

それぞれの時間微分は、

$\frac{d\vec{p}_1}{dt} = m_1 \frac{d\vec{v}_1}{dt} = \vec{F}_{21}$

$\frac{d\vec{p}_2}{dt} = m_2 \frac{d\vec{v}_2}{dt} = \vec{F}_{12}$

2つの物体の運動量の合計 $\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$ の時間変化を計算する。

$\frac{d\vec{P}}{dt} = \frac{d\vec{p}_1}{dt} + \frac{d\vec{p}_2}{dt} = \vec{F}_{21} + \vec{F}_{12}$

作用・反作用の法則 $\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}$ より、

$\frac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F}_{21} - \vec{F}_{21} = 0$

したがって、$\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$ であるから、運動量の合計 $\vec{P}$ は時間的に一定である。

3. 最終的な答え

2つの物体の運動量の合計は時間に依らず一定である。